Matrices de recurrencia

Desde el punto de vista ondulatorio podemos observar el comportamiento de la cadena de la siguiente forma.

Consideramos la ecuación de movimiento de la partícula i-ésima que en forma explícita la obtenemos usando el renglón i-ésimo de la ecuación (I-6); que bien puede ser:

$$\frac{d^{2}Y_{i}}{dt^{2}} = \lambda_{i} Y_{i} = \frac{A_{2}... ... + \frac{A_{1}}{\sqrt{mM}} Y_{i+1} + \frac{A_{2}}{M} Y_{i+2}$$

$$\frac{d^{2}Y_{i}}{dt^{2}} = \lambda_{i} Y_{i} = \frac{A_{2}... ... + \frac{A_{1}}{\sqrt{mM}} Y_{i+1} + \frac{A_{2}}{m} Y_{i+2}$$

según la masa que le corresponda a la partícula i, trabajando simultaneamente las dos ecuaciones anteriores y despejando $Y_{i+2}$ en cada una de ellas.

$$Y_{i+2} = -\frac{A_{1}}{A_{2}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} Y_... ...ac{A_{1}}{A_{2}} \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}} Y_{i-1} - Y_{i-2}$$

y que junto con las ecuaciones reduntantes.

$$Y_{i+1} = Y_{i+1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y_{i} = Y_{i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Y_{i-1} = Y_{i-1}$$

podemos formar los siguientes sistemas matriciales de recurrencia:

$$\left [ \begin{array}{c} y_{i + 2} \\ y_{i + 1} \\ y_... ...y_{i} \\ y_{i + 1} \\ y_{i + 2} \\ \end{array} \right ]$$

$$\left [ \begin{array}{c} y_{i + 2} \\ y_{i + 1} \\ y_... ...y_{i} \\ y_{i - 1} \\ y_{i - 2} \\ \end{array} \right ]$$

que con otra notación matricial más simple toman la siguiente forma:

$$Z_{i} = T_{m} Z_{i-1} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Z_{i} = T_{M} Z_{i-1}$$ (I-9 )

donde las matrices $T_{m}$ y $T_{M}$ se les conoce con el nombre de matrices de transferencia de la cadena diatómica.

Estas matrices nos permiten estudiar la variación en el espacio de un segmento, formado por un grupo determinado de partículas en función de otro si-milar; que en nuestro caso particular de interacción a segundos vecinos podemos estudiar el segmento formado por los cuatro desplazamientos de las partículas $I+2, \ I+1,\ I, \ I-1$ en términos del segmento similar formado por los desplazamientos de las partículas $i+1, \ i, \ i-1, \ i-2$; tal que si observamos a través de una ventana siempre tomariamos cuatro partículas de la cadena, esto es en una forma esquemática se tiene:

Esquema de relación de dos ventanas.

Aplicando la Ec. (I-10) a las N partículas de la cadena obtenemos.

$$\begin{array}{cccccl} \mbox{Para} & i = 1 & \mbox{se tiene... ...& T_{M} \ T_{m} \ T_{M} \ T_{m} \cdots Z_{0} \\ \end{array}$$ (I-10 )

donde $\qquad Z_{0} = \left [ \begin{array}{c} y_{2} \\ y_{1} \\ y_{0} \\ y_{-... ... y_{N + 2} \\ y_{N + 1} \\ y_{N} \\ y_{N - 1} \\ \end{array} \right ]$

La última ecuación del sistema (I-11) nos dá en forma explícita todas las matrices de transferencia de la cadena diatómica que se presentan en forma alternada debido a la estructura misma de la cadena; matriz que nos permite estudiar una porción de la cadena que hemos llamado ventana (por similitud al alcance visual que se tiene cuando se hace una observación a tráves de ella) de tal forma que dicha ventana abarcará a cuatro partículas de nuestra cadena.

El empleo de la matriz de recurrencia que esta ligado en forma explícita a una ventana, cobra interés ya que podemos estudiar cada una de ellas en función de la anterior, donde esta última contiene a las tres primeras partículas de la ventana en estudio.

Por tal motivo la matriz de transferencia que tiene un caracter recursivo es una herramienta que nos sirve para estudiar la cadena por segmentos que la constituyen.

Debido a la importancia que tiene la matriz de recurrencia, es de interés encontrar los eigenvalores y sus eigenvectores, los que servirán para tener su interpretación física por estar relacionada con el movimiento general de la cadena.

Por lo que la ecuación para encontrar los eigenvalores de la matriz de transferencia se representa como:

$$T Z = \mu Z$$ (I-11 )

Donde se ha denotado por $T$ a la matriz de recurrencia en una forma general, ya que no nos importará la masa que inicialice la ventana pues el análisis es el mismo para cualquier tipo de matriz $T_{M}$ o $T_{m}$.

Al interpretar una ventana por medio de eigenvectores de $T$, donde cada componente de cada eigenvector es multiplicada por un factor $\mu$ (al pasar de una partícula a otra) y como cada eigenvector de la matriz $T$ es debido a los desplazamientos de las partículas en la ventana que se esta analizando, entonces los cuatro eigenvectores de la matriz $T$ se suman, dando un vector que representa el comportamiento de la ventana, por lo que es posible relacionar físicamente una ventana con una onda, y al tratar el análisis de la cadena como una superposición de ondas.

Por esto la interpretación física que se les da a los eigenvectores de la matriz de transferencia, es que dan origen a las ondas. Donde la constante de propagación es el eigenvalor $\mu$ ya que estas ondas son multiplicadas por el factor $\mu$ cuando se corre la ventana.

Y a este factor $\mu$ que es el eigenvalor de la matriz de recurrencia se le conoce con el nombre de frecuenia espacial o número de onda, pues nos da la variación en el espacio. Existiendo cuatro casos de importancia para $\mu$ que nos van a servir para distinguir la propagación de las oscilaciones, amortiguamientos, o crecimientos de estas ondas dentro de la cadena.

Por lo tanto será conveniente definir el logaritmo del número de onda $\mu$ que podemos denotar por $\varphi$, entonces $\ell_{n} \ \mu = \varphi$.

PRIMER CASO

Si $\varphi$ es real positivo o negativo esto implica que $\mu$ es real positivo o negativo, y como $\ell m \mu = \varphi$ por lo que el comportamiento de la cadena en esa ventana será de forma exponencial creciente o decreciente dependiendo de que $\varphi$ sea positivo o negativo; esquemáticamente tenemos:

ESQUEMA DEL MOVIMIENTO DE LA CADENA CUANDO EL EIGENVALOR O NUMERO DE ONDA ES EXPONENCIAL

SEGUNDO CASO

Si $\varphi$ es imaginario de la forma $\varphi = i \ \beta$ entonces

$$\mu = e^{i\beta} = \mbox{cos}\beta + i \ \mbox{sen}\beta$$

Por lo tanto, el comportamiento de la cadena en esa ventana sera una forma senoidal o cosenoidal es decir de tipo ondulatorio, y como al pasar de una partícula a otra tenemos que multiplicar por el factor $\mu$ cuyo módulo es:

$$\mid \mu \mid = \mid \in^{i \ \beta} \mid = \mid \mbox{cos}... ...en}\beta \mid = \mbox{cos}^{2}\beta + \mbox{sen}^{2}\beta = 1$$

Por lo que el movimiento será ondulatorio aunque la amplitud se conserve constante, esquemáticamente tenemos:

Esquema del movimiento de la cadena cuando el número de onda es un imaginario puro.

TERCER CASO

Si es de la forma $\varphi = \alpha + i \pi$ donde $\alpha$ es real, entonces $\mu = e^{\alpha + \pi i} = \epsilon^{\alpha} e^{i \pi} = \epsilon^{\alpha}(\mbox{cos} \pi + i \ \mbox{sen} \pi) = - e^{\alpha}$ que como se sabe al pasar de una partícula a otra, hay que multiplicar por el número de onda $-\mbox{{\Large e}}^\alpha$, el cual produce defasamientos de $180^o$ entre las partículas contiguas de la cadena debido al signo negativo, por lo que se observarán oscilaciones con inversiones completas de fase. Una característica que se puede observar es que las partículas alternantes tendrán el mismo comportamiento.

En general sí N es par las partículas $2,4,6,... ..i+2. i+4, ......... 2N, 2N + 2$ tienen el mismo comportamiento o sea van en la misma fase y las partículas $1,3,5, ........ i + 1, ..2N + 1$ tienen la misma fase, esquematizando obtenemos.

Esquema de movimiento de la cadena cuando el número de onda es de la forma

CUARTO CASO

Si $\varphi$ es complejo de la forma $\varphi = \alpha + i \beta$ y donde $\alpha, \beta$ son reales entonces.

$$\mu = \epsilon^{\alpha + i \beta} = \epsilon^{\alpha} (\eps... ...a}) = \epsilon^{\alpha} (\mbox{cos}\beta + 1 \mbox{sen}\beta)$$

Por lo cual el comportamiento de la cadena será senoidal o cosenoidal (o sea del tipo ondulatorio) afectado por el factor exponencial $\epsilon^\alpha$ que depende de la parte real de $\varphi$.

Esta parte real de $\varphi(\epsilon^\alpha)$ puede ser de dos tipos

1.- $\varphi$ es exponencial creciente quedando el movimiento de la cadena de la siguiente forma.

ESQUEMA DEL MOVIMIENTO DE LA CADENA CUANDO $\alpha > 0$

2.- $\varphi$ es exponencial decreciente afectando el movimiento ondulatorio de la cadena de la siguiente manera:

ESQUEMA DEL MOVIMIENTO DE LA CADENA CUANDO $\alpha < 0$

Ahora bién, con el fin de facilitar el algebra es conveniente definir a $m \ M$ y a la razón de masas, así como el cociente de las constantes elásticas como parámetros, esto es:

$$m M = \mu \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rho^{2} = \frac{m}{M} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ K = \frac{A_{1}}{A_{2}}$$

con lo que las matrices (I-11) toman la forma siguiente:

$$\left [ \begin{array}{cccc} {-K}/{\rho} & (\lambda M - A_... ...0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$

$$\left [ \begin{array}{cccc} -K \rho & (\lambda M - A_{0})... ...0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right ]$$

Como la estructura de la cadena es tal que las masas de las partículas se alternan, es conveniente multiplicarlas para así obtener la matriz de transeferencia de una molécula, resultando:

$$T_{d} = \left [ \begin{array}{cccc} K^{2} + \frac{(\lambda... ...1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]$$ (I-12 )

de las definiciones anteriores se puede notar que

$$m = \mu_{\rho} \Rightarrow \rho = \frac{m M}{\mu M} = \frac{\mu^{2}}{\mu M} = \frac{\mu}{M}$$

$$M = \frac{\mu}{\rho}$$

$$\frac{\lambda M}{A_{2}} = \frac{\lambda \mu}{A_{2} \rho}$$

$$\frac{\lambda m}{A_{2}} = \frac{\lambda \mu \rho}{A_{2}}$$

por lo que definimos el siguiente parámetro:

$$\varepsilon = \frac{\lambda M}{A_{2}} = \frac{\lambda \sqrt{M m}}{A_{2}}$$

que depende en la media geométrica de las masas y en la constante elástica de segundos vecinos.

Además sabemos que $A_o = -2(A_1 + A_2)$

entonces $\frac{-A_{0}}{A_{2}} = 2(k + 1)$

Sustituyendo estos resultados en (I-12) obtenemos finalmente la matriz de trasferencia, $T_{d}$ para una molécula de la cadena diatómica, es decir dos partículas seguidas. 3pt

$$T_{d} = \left [ \begin{array}{cccc} K^{2} + \frac{\varepsi... ...1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right ]$$ (I-13 )