Caso cuando el modelo de la cadena tiene sus extremos fijos

Como el modelo que hemos adoptado para representar a la cadena diatómica consiste de $N$ partículas con dos tipos de masas diferentes, que se presentan en una forma alternada entonces podemos denotar por una masa pequeña $m$ a un tipo y por una masa grande $M$ al otro tipo, esquemáticamente tenemos.

Figura 1

Figura del modelo de cadena diatómica de N partículas.

Ahora bién, el comportamiento general para este caso del modelo^I3 va a estar determinado por el espectro, de todas las frecuencias características o eigenvalores de la matriz de movimiento, por una superposición de todos los modos normales de vibración y sus respectivos números de onda. Por tal motivo necesitamos conocer en forma explícita la matriz de movimiento para este caso del modelo, la cual se encontró en la primera parte por (I-6), esto es:

$$A = \left [ \begin{array}{ccccccc} \frac{A_{0}}{m} & \fra... ...rac{A_{1}}{\sqrt{mM}} & \frac{A_{0}}{m} \end{array} \right ]$$ (I-1 )

Una manera de obtener los eigenvalores y eigenvectores es diagonalizando esta matriz, existiendo varios métodos para hacerlo por ejemplo: El método de Givens, que fue el método que se usó en esta parte, el cual se encuentra desarrollado en el paquete de subrutinas PEN y en el programa principal PENTA, donde una parte de los listados se encuentra en el apéndice G de (3) y otra parte en el apéndice B de este trabajo.

La gráfica (I-1) nos muestra el espectro de todas las frecuencias permitidas por la cadena. El cual se obtuvo haciendo variar en incrementos $F$ la cons-tante elástica $A_{1}$ de primeros vecinos de tal forma que $A_{1} + A_{2}$ permaneciera constante donde $A_{2}$ la constante elástica de segundos vecinos conservando fijas para dichas constantes a las masas de las partículas, con los siguientes valores $A_{1} = 0.1 , \ A_{2} = 1.9 , \ F = 0.045$ y para la masa pequeña $X M P = 0.825$ y par la masa grande $XMG = 1.4$, suponiendo además que la cadena consta de ocho partículas con la primera masa pequeña, por lo que la última será de masa grande.

En esta gráfica se puede observar la doble degeneración que existe por cruzamiento de las frecuencias características, esto se verá reflejado en los modos normales de vibración por medio de discontinuidades en sus respectivas gráficas. Pero lo más importante de esta gráfica es la convergencia que existe entre las frecuencias de la rama^I4 óptica, numeradas por las frecuencias 1,2,3,4 siendo este el motivo principal que dió lugar a desarrollar este trabajo. Ya que en la tesis de Jesús Ortega C. referencia [3] este punto de convergencia se quedó abierto a la investigación, razón por la cual en este trabajo se estudiará cual es el comportamiento de la cadena diatómica en ese punto de convergencia.

Ahora bién es conveniente presentar a los modos normales de vibración, por separado, ya que cuando un sistema tiene varios modos normales es casi imposible observar de una manera clara el movimiento general de la cadena, por lo que la gráfica (I-2) esta dividida en 8 subgráficas, presentándose cada una de ellas en una página diferente.

Cada una de las subgráficas va a tener en la parte superior la gráfica de uno de los diferentes modos normales de vibración. Que observando con detalle cada una de las gráficas es posible ver ciertas discontinuidades, siendo este un resultado que ya se esperaba; excluyendo el modo 8 que es al que le corresponde la frecuencia mas baja, ya que no presenta en su gráfica puntos nodales. Por lo que podemos decir que este modo es el mas subceptible a todo tipo de variación.

Las gráficas de los modos normales, así como las de los demás casos se obtuvieron por medio del programa principal PENHL cuyo listado se encuentra en el apéndice C.

Lo único que falta para un estudio completo de este caso, es conocer en que región (es) esta(n) definida(s) la(s) gráfica(s) de los números de onda correspondientes a cada una de las frecuencias temporales del espectro. Por lo tanto la forma de obtener esos números de onda es haciendo uso de la siguiente relación de dispersión.

$$C = \frac{2(\rho\varepsilon + (K + 2)) \pm \sqrt{4[(\rho \... ...} + 2 \rho \varepsilon (K + 1) + 2 (K^{2} + 2K + 1 ))]}}{8}$$ (I-2 )

la cual se deduce con detalle en el apéndice A.

Las gráficas de los números de onda serán de gran utilidad ya que el comportamiento de la cadena desde el punto de vista ondulatorio va a depender de la(s) region(es) donde se encuentren definidas las gráficas de estos números de onda.

Estas gráficas se obtuvieron haciendo uso del programa principal PENCC cuyo listado se encuentra en el apéndice D.

Cada una de estas gráficas se presenta en la parte inferior de las subgráficas, que componen a la gráfica (I-2).

Observando las gráficas de los números de onda, correspondientes a la frecuencia de la rama óptica, (es decir las frecuencias 1,2,3,4 ) se puede ver que estan definidas en la región exponencial cuando el valor del parámetro $A_{1}$ es cercano al punto de convergencia. Por lo que se espera que el comportamiento de la cadena diatómica sea en forma exponencial en ese punto de convergencia.

Con el fin de entender las gráficas de los modos normales de vibración es conveniente mencionar el sistema de coordenadas que se usó al obtener dichas gráficas. Entonces en el eje $X$ se da la posición de las partículas de la cadena, el eje $Z$ nos da la amplitud que sufra cada una de las partículas y la parte negativa del eje $Y$ nos da la variación del parámetro que en esta parte es la constante elástica de primeros vecinos $A_{1}$.

Así mismo el sistema de coordenadas que se usó en las gráficas de los números de onda son las raices $C_{1}$ y $C_{2}$ que resultan al resolver la relación de dispersión (I-2).

Gráfica I-1

Gráfica del negativo del cuadrado de las frecuencias características o temporales del modelo de la cadena diatómica de 8 partículas, en donde el parámetro que se modifica es la constante elástica $A_1$ de primeros vecinos de tal forma que $A_1 + A_2$ contante, siendo $A_2$ la constante elástica de segundos vecinos. El eje $Y$ corresponde a la variación del parámetro y el eje $X$ corresponde al número de frecuencias permitidas del espectro. La parte interesante en este trabajo es el punto de convergencia de la rama óptica, ya que existe una degeneración en ese punto, como se puede ver en la gráfica.

Modo Normal 1

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 1.

Modo Normal 2

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 2.

Modo Normal 3

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 3.

Modo Normal 4

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 4.

Modo Normal 5

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 5.

Modo Normal 6

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 6.

Modo Normal 7

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 7.

Modo Normal 8

Gráfica de los números de onda correspondientes a la frecuencia 8.