En 1887 el rey Oscar II de Suecia, ofreció un premio a la persona que respondiera formalmente a la pregunta: Es esTabla el sistema solar? ya que él estaba preocupado por lo que pasaría si los planetas llegasen a chocar.
Henri Poincaré, matemático francés, padre de la topología que nació en abril de 1854, acudió a la convocatoria y demostró que la interacción de dos cuerpos no presenta problemas, sin embargo con tres o más cuerpos no se podía saber qué es lo que ocurriría si los cuerpos chocasen entre sí.
Lo anterior no respondía la pregunta hecha por el rey, pero al ver los árbitros que no había una mejor solución y satisfechos con esa respuesta, le fue concedido el premio [6].
Figura 1: El polígono muestra la sección de Poincaré, que señala el sitio donde la trayectoria atraviesa el plano imaginario, en este caso se muestra una trayectoria periódica de ciclo 2
Poincaré hizo contribuciones importantes a la nueva ciencia, los sistemas dinámicos, entre las que destaca lo que ahora se conoce como Sección de Poincaré o mapa de retorno, como también se le conoce; que es un plano imaginario (no complejo) que corta transversalmente es espacio de la trayectoria de un cuerpo, llamado también espacio de fases. Si este cuerpo siempre atraviesa la sección en un único punto, entonces la trayectoria es periódica; si atraviesa en varios puntos bien definidos, entonces la trayectoria es periódica con ciclo definido; si no se puede determinar alguna periodicidad, estamos en precencia del caos.
Eduard Lorenz, un metereólogo del Instituto Tecnológico de Massachusetts, a principios de la década de los 60's publicó un artículo que se llamó Deterministic Nonperiodic Flow [7] en donde propone sistemas finitos de ecuaciones diferenciales para modelar flujos hidrodinámicos disipativos (como la dinámica de las nubes), y encontró que sus soluciones eran no esTablas y casi todas no periódicas, concluyendo una posible aplicación para la predicción del estado del clima a largo plazo.
Una regla de evolución f en un espacio métrico X, es caótica o exhibe caos en el conjunto de todas las configuraciones globales G si:
En la primera parte de la definición se menciona que bajo una regla de evolución, la imágen de una configuración global que pertenece al conjunto de todas las posibles configuraciones globales (de longitud finita) pertenece también al mismo conjunto. Denotado aquí por la letra G. En una sección posterior se define un espacio métrico para estos autómatas celulares.
La segunda parte dice que el hacer pequeños cambios en la configuración inicial, la evolución a través del tiempo del autómata celular es diferente (ver figuras 4 y 5).
Un problema al cual se enfrentan los estudiosos de la materia, es predecir o más propiamente dicho, suponer por adelantado el comportamiento de la evolución del autómata tomando en cuenta unicamente la configuración inicial y la regla de evolución en el caso de los autómatas celulares determinísticos; a la fecha se han desarrollado algunos modelos para predecir el comportamiento a largo plazo de los autómatas celulares utilizando unicamente con estos datos, estos modelos son revisados brevemente en [8].
Ahora se cuenta con un esquema que clasifica el comportamiento de la evolución del autómata en 4 categorías [3].
Varios modelos matemáticos han surgido por separado para medir la cuota de caos que presentan las evoluciones de los autómatas celulares, dos de ellos son la medida de entropía como el grado de desorden y el exponente característico de Liapunov como una medida de la velocidad de propagación de los patrones generados por un autómata celular.