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Curvatura

Sea $M$ una $C^k$-variedad y sea $p\in M$ un punto en ella. Sea $\Phi$ la aplicación descrita al final de la sección anterior que identifica al espacio tangente $T_p$ con una vecindad de $p$. Dados dos vectores ${\bf u},{\bf v}\in T_p$, consideremos el ``paralelogramo'' con aristas paralelas a los vectores ${\bf u},{\bf v}$, cuyas longitudes están dadas por una razón $\delta$, y hagamos que un vector ${\bf z}$ se transporte de manera paralela a lo largo de su perímetro en un sentido antihorario (véase la figura 1.1)

Figura 1.1: Transporte paralelo en un paralelogramo.

Cuando $\delta\to 0$, la posición final del vector ${\bf z}$ se puede poner como un vector, es decir un $(1,0)$-tensor, cuyas componentes son propiamente $(0,3)$-tensores, es decir

$${\bf z}_{\mbox{\scriptsize fin}} = \overline{R}({\bf z},d{\b... ...ell\in[\![0,n-1]\!]} r_{i,jk\ell}\,z_j\,du_k\,dv_{\ell}\,dx_i.$$ (10.1)

Como el transporte es paralelo debe satisfacerse la ecuación de transporte paralelo (8.2), y por tanto

$$\forall i,j,k,\ell\in[\![0,n-1]\!]:\ \ r_{i,jk\ell} = \nabla... ...ft[c_{j_1,ki}c_{j,\ell j_1} - c_{j_1,\ell i}c_{j,kj_1}\right].$$ (10.2)

El $(1,3)$-tensor $(\phi;{\bf z},{\bf u},{\bf v})\mapsto R(\phi;{\bf z},{\bf u},{\bf v})$ cuyas componentes están dadas por (10.2) se llama el tensor de Riemann. De (10.2) se ve inmediatamente que el tensor $R$ es alternante respecto a sus dos últimos argumentos: $R(\phi;{\bf z},{\bf u},{\bf v}) = -R(\phi;{\bf z},{\bf v},{\bf u})$ (en la figura 1.1 se ve que intercambiar esos argumentos es equivalente a intercambiar el sentido del recorrido en el perímetro del paralelogramo). Si $R$ es idénticamente cero, entonces la variedad $M$ se dice ser plana.

El tensor de torsión es de orden $(2,1)$ y tiene como componentes

$$\forall i,j,k\in[\![0,n-1]\!]:\ \tau_{ij,k} = c_{i,jk} - c_{j,ik}.$$ (10.3)

Por otro lado, puede verse que las derivadas covariantes pueden dejar de ser conmutativas: $\nabla_k\nabla_{\ell}\not=\nabla_{\ell}\nabla_k$. De hecho, puede verse que el conmutador de tales derivadas está dado por el tensor de Riemann y el de torsión:

$$\forall {\bf u}\in T_p,\forall i,k,\ell:\ \ (\nabla_k\nabla_... ...ell}u_j - \sum_{j_1=0}^{n-1} \tau_{k\ell,j_1}\nabla_{j_1}u_i.$$ (10.4)

El tensor de Riemann también puede presentarse como un $(0,4)$-tensor definiendo como nuevas componentes

$$\forall i,j,k,\ell\in[\![0,n-1]\!]:\ \ \overline{\overline{r}}_{ijk\ell} = \sum_{i_1=0}^{n-1}g_{ii_1}r_{i_1,jk\ell}$$ (10.5)

donde $G=\left(g_{ij}\right)_{0\leq i,j\leq n-1}$ es el tensor que define la métrica. Puede verse que valen las siguientes relaciones de simetría y alternancia:

$$\forall i,j,k,\ell\in[\![0,n-1]\!]:\ \ \left\{\begin{array}{... ...} + \overline{\overline{r}}_{i\ell jk} = 0 \end{array}\right.$$ (10.6)

Calculando las derivadas covariantes de las componentes del tensor de Riemann se comprueba que valen las identidades de Bianchi:

$$\forall i,j,k,\ell,m\in[\![0,n-1]\!]:\ \ \nabla_mr_{i,jk\ell} + \nabla_kr_{i,j\ell m} + \nabla_{\ell}r_{i,jmk} = 0$$ (10.7)

(obsérvese que se aplica una rotación a los tres últimos índices $k,\ell,m$). Las identidades de Bianchi son muy similares a las identidades de Jacobi:

$$[[\nabla_m,\nabla_k],\nabla_{\ell}] + [[\nabla_k,\nabla_{\ell}],\nabla_m] + [[\nabla_{\ell},\nabla_m],\nabla_k]=0$$

donde $[\nabla_m,\nabla_k]=\nabla_m\,\nabla_k - \nabla_k\,\nabla_m$ es el conmutador de las derivadas covariantes.

El tensor de Ricci es el $(0,2)$-tensor con componentes

$$\forall j,\ell\in[\![0,n-1]\!]:\ \ s_{j\ell} = \sum_{i=0}^{n-1}r_{i,ji\ell}.$$ (10.8)

Así pues, de acuerdo con la relación (3.4) el tensor de Ricci es la contracción del de Riemann respecto a los índices $i$ y $k$. Por las relaciones de simetría y alternancia (10.6) se tiene

$$\forall j,\ell\in[\![0,n-1]\!]:\ \ s_{j\ell} = s_{\ell j}.$$

Por las mismas relaciones (10.6), cualquier otra contracción del de Riemann o bien se anula o bien coincide con el tensor de Ricci salvo por un signo. Por tanto, el de Ricci es esencialmente la única contracción del de Riemann.

Si $G^{-1}=\left(\overline{g}_{ij}\right)_{0\leq i,j\leq n-1}$ es la inversa de la matriz $G$ de componentes del tensor que define la métrica, entonces el escalar de Ricci es $s= \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{\ell=0}^{n-1}\overline{g}_{j\ell}s_{j\ell}$. La curvatura de la variedad está definida como este escalar.

Al realizar una doble contracción a las identidades de Bianchi (10.7) se tiene $\forall k\in[\![0,n-1]\!]$:

$$0 = \sum_{i,j,\ell,m\in[\![0,n-1]\!]} \overline{g}_{jm}\overl... ..._is_{ik} - \nabla_k s + \sum_{j\in[\![0,n-1]\!]} \nabla_js_{jk}$$

o sea

$$\sum_{i\in[\![0,n-1]\!]} \nabla_is_{ik} = \frac{1}{2} \nabla_k s.$$ (10.9)

El $(0,2)$-tensor $E$ con componentes

$$\forall i,k\in[\![0,n-1]\!]:\ \ e_{ik} = s_{ik} - \frac{1}{2} s \overline{g}_{ik}$$

se llama tensor de Einstein. Claramente, las identidades contraídas de Bianchi (10.9) son equivalentes a

$$\sum_{i\in[\![0,n-1]\!]} \nabla_ie_{ik} = 0.$$

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