Siguiente: Mapas compatibles en cada
Arriba: Producto de variedades
Anterior: Producto de variedades
Sean
,
espacios topológicos. Consideramos el producto topológico
y las proyecciones canónicas:
definidas por:
Se sabe de topología general que dichas proyecciones canónicas son aplicaciones
continuas.
Supongamos que existen mapas
de sendos espacios topológicos
,
.
Designemos por
la aplicación del abierto
de
en el abierto
de
dada por:
Sin los argumentos
esta fórmula se escribe equivalentemente:
![\begin{displaymath}\mbox{\fbox{${\displaystyle (x \times y ) = (x \circ \mbox{\rm pr}_1, y \circ \mbox{\rm pr}_2)}$}}
\end{displaymath}](img4120.png) |
(4) |
Para todo par
existe un único par
tal que:
a saber
. Luego la aplicación
es una biyección de
sobre
.
Afirmamos que
es una aplicación continua. De topología general
sabemos que para ello basta probar que son continuas las aplicaciones:
Pero esto es cierto, pues, la aplicación (5) no es otra que
y
la aplicación (6) no es otra que
.
Análogamente, usando las proyecciones canónicas:
![\begin{displaymath}
\pi_1 \colon {{\mathbb{R}}}^n \times {{\mathbb{R}}}^m \to {{...
...{{\mathbb{R}}}^n \times {{\mathbb{R}}}^m \to {{\mathbb{R}}}^m
\end{displaymath}](img4131.png) |
(7) |
vemos que la aplicación
de
en
es continua.
Viene, pues, probado que la aplicación
es un homeomorfismo del
abierto
de
sobre el abierto
de
,
o sea:
es un mapa del espacio topológico ![$M \times N$](img4111.png)
.
De lo dicho resulta sin más:
El producto topológico de dos variedades topológicas es una variedad topológica.
Precisamente hablando: si
son variedades topológicas provistas de
sendos atlas
,
la familia
es un atlas
de
.
En particular si M, N son variedades topológicas puras, también
es una variedad topológica pura y vale:
Siguiente: Mapas compatibles en cada
Arriba: Producto de variedades
Anterior: Producto de variedades
Guillermo M. Luna
2009-06-14