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Un mapa en cada variedad

Sean $M$, $N$ espacios topológicos. Consideramos el producto topológico
$M \times N$ y las proyecciones canónicas:

$$\mbox{\rm pr}_1 \colon M \times N \to M \qquad \mbox{\rm pr}_2 \colon M \times N \to N$$

definidas por:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm pr}_1(p,q)=p \;,\quad \mbox{\... ...= q \quad \mbox{si}\quad p\in M \quad \mbox{y} \quad q \in N}$}$$

Se sabe de topología general que dichas proyecciones canónicas son aplicaciones continuas. Supongamos que existen mapas $(U,x,n),\, (V,y,m)$ de sendos espacios topológicos $M$, $N$. Designemos por $x \times y$ la aplicación del abierto $U \times V$ de $M \times N$ en el abierto $x(U) \times y(V)$ de ${{\mathbb{R}}}^n \times {{\mathbb{R}}}^m = {{\mathbb{R}}}^{n + m}$ dada por:

$$\fbox{${\displaystyle (x \times y ) (p,q) = (x(p), y(q)) \quad \forall \, (p,q) \in U \times V}$}$$

Sin los argumentos $p,\, q$ esta fórmula se escribe equivalentemente:

$$\mbox{\fbox{${\displaystyle (x \times y ) = (x \circ \mbox{\rm pr}_1, y \circ \mbox{\rm pr}_2)}$}}$$ (4)

Para todo par $(u,v) \in x(U) \times y(V)$ existe un único par $(p,q) \in U \times V$ tal que:

$$(x \times y) (p,q) = (u,v)$$

a saber $p = x^{-1}(u) ,\, q= y^{-1}(v)$. Luego la aplicación $x \times y$ es una biyección de $U \times V$ sobre $x(U) \times y(V)$.

Afirmamos que $x \times y$ es una aplicación continua. De topología general sabemos que para ello basta probar que son continuas las aplicaciones:

$$(p,q) \mapsto x(p) \mbox{de} \quad U \times V \quad \mbox{en} \quad{{\mathbb{R}}}^n \quad \mbox{y}$$ (5)

$$(p,q) \mapsto y(q) \mbox{de} \quad U \times V \quad \mbox{en} \quad{{\mathbb{R}}}^m$$ (6)

Pero esto es cierto, pues, la aplicación (5) no es otra que $x \circ \mbox{\rm pr}_1$ y la aplicación (6) no es otra que $y \circ \mbox{\rm pr}_2$.

Análogamente, usando las proyecciones canónicas:

$$\pi_1 \colon {{\mathbb{R}}}^n \times {{\mathbb{R}}}^m \to {{... ...{{\mathbb{R}}}^n \times {{\mathbb{R}}}^m \to {{\mathbb{R}}}^m$$ (7)

vemos que la aplicación $(x \times y) ^{-1} = x^{-1} \times y^{-1}$ de $x(U) \times y(V)$ en $M \times N$ es continua. Viene, pues, probado que la aplicación $x \times y$ es un homeomorfismo del abierto $U \times V$ de $M \times N$ sobre el abierto $x(U) \times y(V)$ de ${{\mathbb{R}}}^{n+m}$, o sea:

$(U \times V, x \times y, n+m)$ es un mapa del espacio topológico $M \times N$.

De lo dicho resulta sin más:

El producto topológico de dos variedades topológicas es una variedad topológica.

Precisamente hablando: si $M,\, N$ son variedades topológicas provistas de sendos atlas $(U_\alpha, x_\alpha, n_\alpha)_{\alpha \in I} ,\, (V_\beta, y_\beta, m_\beta)_{\beta \in J}$, la familia $(U_\alpha \times V_\beta, x_\alpha \times y_\beta, n\alpha+ m_\beta)$ es un atlas de $M \times N$.

En particular si M, N son variedades topológicas puras, también $M \times N$ es una variedad topológica pura y vale:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim}( M \times N) = \mbox{\rm dim }M + \mbox{\rm dim }N}$}$$

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