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Contents

• Elementos de álgebra exterior
  • Álgebra exterior sobre un espacio vectorial de dimensión finita
    • Álgebra de Grassmann asociada con una base de un espacio vectorial de dimensión finita
      • El símbolo $\rho _{H,K}$
      • El espacio vectorial G
      • Elementos homogéneos del álgebra G
      • Identificación del subespacio $\mbox{\sf G}^{(0)}$ con el cuerpo ${\mathbb{K}}$
      • Relación entre el álgebra G y un espacio vectorial de dimensión $n$ provisto de una base fija
      • Ley de conmutación
      • Casos particulares
      • Multivectores descomponibles
    • Repaso de permutaciones
    • Existencia y unicidad del álgebra exterior sobre un espacio vectorial de dimensión finita
      • Estructura de un álgebra exterior sobre $E$
    • Ampliación exterior de una aplica-cación lineal
      • Determinantes
      • Álgebra exterior sobre un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita
      • Teoría de determinantes
      • Determinante de un $n$-uplo de vectores con respecto a una base de un espacio vectorial de dimensión $n$
      • Orientación de un espacio vectorial real de dimensión finita
      • Menores de una matriz
    • Multivectores descomponibles sobre un espacio vectorial de dimensión finita
  • Aplicaciones multilineales alternadas. Formas exteriores
    • Aplicaciones multilineales alternadas
    • Repaso de dualidad
      • Matriz de la aplicación dual
      • Anuladores
      • El bidual de un espacio vectorial
    • Dualidad en álgebra exterior
      • Interpretación ``dual'' del producto exterior de formas exteriores
      • Aplicación dual de una potencia exterior de una aplicación lineal
    • Formas exteriores vectoriales
      • Producto exterior de formas exteriores vectoriales
    • Cambio de base
      • Cambio de base en espacios vectoriales y sus duales
      • Cambio de base en productos exteriores y sus duales
      • Cambio de componentes
      • Cambio de ``coeficientes vectoriales'' para formas exteriores vectoriales
  • Álgebra exterior sobre un espacio de producto escalar
    • Espacios de producto escalar
      • Matriz de $A^*$
      • El isomorfismo $G$
      • Fórmulas analíticas
      • Espacios vectoriales euclidianos
      • Producto escalar canónico en ${{\mathbb{K}}}^n$
    • Producto escalar inducido en $\stackrel{r}{\wedge}E$ y en $\stackrel{r}{\wedge} E^*$
    • El operador de Hodge
      • El operador de Hodge en un espacio de producto escalar
      • El operador de Hodge en $\wedge E^*$
      • Caracterización geométrica del producto vectorial en el caso euclidiano
      • Caracterización geométrica del producto vectorial
        $\vec{x}_1 \times \cdots\times \vec{x}_{n-1}$ en el caso euclidiano
  
  
• Cálculo en variedades diferenciales
  • Preliminares geométricos y de cálculo diferencial
    • Espacios afines
      • Primeras consecuencias de los axiomas
      • Aplicaciones afines
      • Semiespacios
    • Espacios vectoriales normados y espacios afines normados
      • Aplicaciones lineales continuas
      • Unos espacios ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ particulares
      • Producto de espacios vectoriales normados
      • Espacios afines normados
      • Aplicaciones afines continuas
      • Producto de espacios afines normados
    • Diferenciación en espacios afines normados reales. Teorema de Ellis
      • Derivada según un vector
      • Concepto de diferencial
      • Diferenciales de funciones reales
      • Funciones locales en un punto de un espacio afín normado
      • La funcional $\partial_{\vec u}(m)$
    • Más sobre diferenciales
      • El jacobiano
      • Isomorfismos diferenciables
      • Productos de espacios afines normados y diferenciales
      • Diferenciales parciales
    • Una lista de resultados de cálculo diferencial
      • Aplicaciones de clase $C^1$
      • Aplicaciones de clase $C^k$
      • Asuntos relacionados con el rango de la diferencial
    • Cálculo diferencial en un semiespacio cerrado de un espacio afín de dimensión finita
      • Diferencial de una aplicación en un punto de $\cal H$
      • La funcional $\partial_{\vec u} (p)$
      • Aplicaciones de clase $C^k$
      • Isomorfismos $C^k$
  • Variedades diferenciables
    • Mapas y atlas admisibles. Isomorfismos
      • Cambios de mapas
      • Atlas maximales
      • Subvariedad abierta
      • Estructura $C^k$ inducida por un homeomorfismo
      • Isomorfismos $C^k$
      • Producto de variedades
    • Aplicaciones diferenciables
      • Diferenciabilidad de una aplicación de una variedad diferenciable en un espacio afín normado
      • Diferenciabilidad de funciones reales
    • Aplicaciones de clase $C^j$
      • Dos casos particulares
      • Caracterización de mapas admisibles
      • Caracterización de isomorfismos $C^k$
      • Aplicaciones de clase $C^j$ de una variedad diferenciable en un espacio afín normado
    • Ejemplos de variedades diferenciables
      • Espacios afines normados de dimensión finita
      • La esfera $S^n$
      • El espacio proyectivo $P_n$
      • Las variedades grassmanianas
      • Una variedad $C^\infty$ no separada
    • Variedades con borde
      • $S^n$ como borde de ${\overline B}_{n+1}$
      • Subvariedad abierta de una variedad con borde
      • Producto de una variedad con borde por una variedad diferenciable
      • Aplicaciones diferenciables
      • Aplicaciones de clase $C^j$
  • Cálculo diferencial en variedades diferenciables
    • Espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable en un punto
      • Estudio del espacio vectorial tangente $M_m$ en presencia de un mapa admisible de $M$ en $m$
      • Generalización del concepto de derivadas parciales con respecto a un mapa admisible. Derivadas parciales de orden superior.
      • Espacio vectorial tangente a una variedad con borde
      • Notación definitiva para vectores tangentes en un punto de una variedad
      • Vectores tangentes a una curva en una variedad diferenciable
      • Componentes del vector $\gamma ' (t)$
    • Diferenciación
      • Consideraciones heurísticas
      • Caso de variedades con bordes
      • Diferenciales y curvas
      • Diferenciales de funciones reales
  
  
• Bibliography
• Index