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Mapas compatibles en cada variedad

Consideremos ahora dos mapas $(U,x),\, (U^\prime, x^\prime)$ compatibles $C^k$ sobre $M$ y dos mapas $(V,y),\, (V^\prime, y^\prime)$ compatibles $C^k$ sobre $N$. Supondremos $U \cap U ^\prime \ne \emptyset$ y $V \cap V^\prime \ne \emptyset$, equivalentemente:

$$(U \times V) \cap (U^\prime \times V^\prime) = (U \cap U^\prime) \times (V \cap V^\prime) \ne \emptyset$$

Nos fijamos en los cambios de mapas:

$$\begin{eqnarray*} x^\prime \circ x^{-1} &\colon& x(U \cap U^\prime) \to x^\prime... ...ime) \left( (U \times V) \cap (U^\prime \times V^\prime) \right) \end{eqnarray*}$$

Ponemos:

$$\begin{eqnarray*} x^\prime \circ x^{-1} &=& (f^1,\ldots,f^n) \quad \mbox{con} \q... ...e) \to {{\mathbb{R}}} \hspace{3em} \forall\, j \in [\![ 1,m ]\!] \end{eqnarray*}$$

$\forall \, (u,v) \in (x \times y) \left( (U \times V) \cap (U^\prime \times V^\prime) \right) = x(U \cap U^\prime) \times y(V \cap V^\prime)$ tenemos:

$$\left( (x^\prime \times y^\prime) \circ (x \times y)^{-1} \right) (u,v) = (x^\prime \times y^\prime)(x^{-1}(u) , y^{-1}(v))$$

$$= \left( (x^\prime \circ x^{-1})(u), (y^\prime \circ y^{-1} (v) \right)$$

$$= \left(f^1(u),\ldots,f^n(u); g^1(v),\ldots,g^m(v) \right)$$ (8)

o sea, usando las proyecciones canónicas $\pi_1 \colon {{\mathbb{R}}}^{n+m} \to {{\mathbb{R}}}^n$ y $\pi_2 \colon {{\mathbb{R}}}^{n+m} \to {{\mathbb{R}}}^m$:

$$(x^\prime \times y^\prime) \circ (x \times y)^{-1} = (f^1 \ci... ...dots, f^n \circ \pi_1; g^1 \circ \pi_2, \ldots,g^m \circ \pi_2)$$

Por hipótesis, las aplicaciones $x^\prime \circ x^{-1}$ e $y^\prime \circ y^{-1}$ son de clase $C^k$. Luego, en virtud del teorema 4.5.2, las funciones $f^1,\ldots, f^n; g^1,\ldots,g^m$ son de clase $C^k$. Ya que $\pi_1$ y $\pi_2$ son de clase $C^\infty$, el teorema 4.5.5 implica que todas las funciones $f^1 \circ \pi_1,\ldots, f^n\circ \pi_1$; $g^1 \circ \pi_2,\ldots, g^m \circ \pi_2$ son de clase $C^k$. Usando de nuevo el teorema 4.5.2, vemos por (8) que el cambio de mapa $(x^\prime \times y^\prime) \times (x \times y)^{-1}$ es de clase $C^k$, o sea, los mapas $(U \times V, x \times y)$ y $(U^\prime \times V^\prime, x^\prime \times y^\prime)$ son compatibles $C^k$.

Así pues, si $\mbox{\frakiii U} = \colon (U_\alpha,x_\alpha)_{\alpha \in A}$ y $\mbox{\frakiii V}= \colon (V_ \beta , y_\beta)_{\beta \in B}$ son atlas coherentes $C^k$ sobre sendos espacios M, N, el atlas:

$$\mbox{\frakiii U} \times \mbox{\frakiii V}= \colon (U_\alpha ... ...beta , x_\alpha \times y_\beta)_{(\alpha,\beta) \in A \times B}$$

es un atlas coherente $C^k$ sobre $M \times N$.

Supongamos finalmente que $M$ y $N$ son dos variedades $C^k$. Sean $\mbox{\frakiii U},\, \mbox{\frakiii U}^\prime$ dos atlas admisibles sobre $M$ y $\mbox{\frakiii V},\, \mbox{\frakiii V}^\prime$ dos atlas admisibles sobre $N$. Entonces los atlas $\mbox{\frakiii U} \cup \mbox{\frakiii U}^\prime$ y $\mbox{\frakiii V} \cup \mbox{\frakiii V}^\prime$ son coherentes $C^k$, luego, por lo que se acaba de ver $(\mbox{\frakiii U} \cup \mbox{\frakiii U}^\prime)\times (\mbox{\frakiii V} \cup \mbox{\frakiii V}^\prime)$ es un atlas coherente $C^k$ sobre $M \times N$. Pero el atlas $(\mbox{\frakiii U} \times \mbox{\frakiii V})\cup (\mbox{\frakiii U}^\prime \times \mbox{\frakiii V}^\prime)$ está contenido en este último, luego es también coherente $C^k$, o sea:

$$\mbox{\frakiii U} \times \mbox{\frakiii V}\sim \mbox{\frakiii U}^\prime \times \mbox{\frakiii V}^\prime$$

La clase de equivalencia del atlas $\mbox{\frakiii U} \times \mbox{\frakiii V}$ sobre $M \times N$ es independiente de la elección de los atlas admisibles , de sendas variedades $M$, $N$. Dicha clase de equivalencia define sobre el espacio $M \times N$ la estructura de una variedad $C^k$ llamada el PRODUCTO DE LAS VARIEDADES $M$, $N$ de clase $C^k$.

Informalmente se habla simplemente de la VARIEDAD PRODUCTO $M \times N$. Si $M$ y $N$ son variedades puras, vale:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim}( M \times N) = \mbox{\rm dim }M + \mbox{\rm dim }N}$}$$

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