Aplicaciones de clase

Definición 5.1 Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales y $\cal S$ una parte abierta de $\cal E$ . Una aplicación $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ se dice APLICACIÓN CONTINUAMENTE DIFERENCIABLE EN EL ABIERTO $\cal S$ de $\cal E$ o de CLASE EN EL ABIERTO $\cal S$ de $\cal E$ si:

$\varphi$ es diferenciable en $\cal S$ (es decir, en todo punto de $\cal S$ ).
La aplicación $d\varphi \colon m \mapsto d \varphi(m)$ de $\cal S$ en el espacio vectorial normado ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ es una aplicación continua.

Teorema 5.1 Sean ${\cal E}$ , $\cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales . $\cal E$ se supone de dimensión finita. Sean $\cal S$ una parte abierta de $\cal E$ y $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal F$ .

$\varphi$ es una aplicación de clase en $\cal S$ , si y sólo si:

$\forall \, m \in {\cal S},\, \forall \, \vec u \in E$ existe la derivada $\partial_{\vec u} \varphi(m)$ de $\varphi$ en m según $\vec u$ .
$\forall \, \vec u \in E$ la aplicación $\partial_{\vec u} \varphi \colon {\cal S} \to F$ es continua.

Corolario 5.1 Sean ${\cal E},\, {\cal F}$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales . $\cal E$ se supone de dimensión finita y su espacio vectorial asociado provisto de una base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ . Sean $\cal S$ una parte abierta de $\cal E$ y ${\cal E} \supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F$ .

$\varphi$ es una aplicación de clase en $\cal S$ si y sólo si existen las derivadas parciales $\partial_1 \varphi,\ldots, \partial_n \varphi$ en $\cal S$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de E y son todas continuas.

Observación
Supongamos que también el espacio afín $\cal F$ es de dimensión finita. Sea $(J; {\vec f}_1,\ldots,{\vec f}_m)$ un referencial de $\cal F$ y sean $\varphi^1,\ldots,\varphi^m \colon {\cal S} \to {\mathbb{R}}$ las funciones coordenadas de $\varphi$ con respecto a dicho referencial. La condición del teorema 4.5.1 equivale a la siguiente:

$\forall \, \vec u \in E$ existen en $\cal S$ las derivadas $\partial_{\vec u} \varphi^j,\, j=1,\ldots,m$ , según el vector $\vec u$ y son continuas.

La condición del corolario de este teorema es equivalente al enunciado: Existen en $\cal S$ las derivadas parciales $\partial_i \varphi^j ;\, i=1,\ldots,n; \, j=1,\ldots,m$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de E y son todas continuas.