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Aplicaciones de clase $C^1$

Definición 5.1   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E, F$ y $\cal S$ una parte abierta de $\cal E$. Una aplicación $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ se dice APLICACIÓN CONTINUAMENTE DIFERENCIABLE EN EL ABIERTO $\cal S$ de $\cal E$ o de CLASE EN EL ABIERTO $\cal S$ de $\cal E$ si:
  1. $\varphi$ es diferenciable en $\cal S$ (es decir, en todo punto de $\cal S$).
  2. La aplicación $d\varphi \colon m \mapsto d \varphi(m)$ de $\cal S$ en el espacio vectorial normado ${\cal H}\mbox{\it om}(E,F)$ es una aplicación continua.

Teorema 5.1   Sean ${\cal E}$, $\cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E, F$. $\cal E$ se supone de dimensión finita. Sean $\cal S$ una parte abierta de $\cal E$ y $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal F$.

$\varphi$ es una aplicación de clase $C^1$ en $\cal S$, si y sólo si:

  1. $\forall \, m \in {\cal S},\, \forall \, \vec u \in E$ existe la derivada $\partial_{\vec u} \varphi(m)$ de $\varphi$ en m según $\vec u$.
  2. $\forall \, \vec u \in E$ la aplicación $\partial_{\vec u} \varphi \colon {\cal S} \to F$ es continua.

Corolario 5.1   Sean ${\cal E},\, {\cal F}$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E, F$. $\cal E$ se supone de dimensión finita y su espacio vectorial asociado $E$ provisto de una base $({\vec e}_1,\ldots,
{\vec e}_n)$. Sean $\cal S$ una parte abierta de $\cal E$ y $ {\cal E} \supset {\cal S}
\mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F$.

$\varphi$ es una aplicación de clase $C^1$ en $\cal S$ si y sólo si existen las derivadas parciales $\partial_1 \varphi,\ldots, \partial_n \varphi$ en $\cal S$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots,
{\vec e}_n)$ de E y son todas continuas.

Observación
Supongamos que también el espacio afín $\cal F$ es de dimensión finita. Sea $(J; {\vec f}_1,\ldots,{\vec f}_m)$ un referencial de $\cal F$ y sean $\varphi^1,\ldots,\varphi^m \colon {\cal S} \to {\mathbb{R}}$ las funciones coordenadas de $\varphi$ con respecto a dicho referencial. La condición del teorema 4.5.1 equivale a la siguiente:

$\forall \, \vec u \in E$ existen en $\cal S$ las derivadas $\partial_{\vec u} \varphi^j,\, j=1,\ldots,m$, según el vector $\vec u$ y son continuas.

La condición del corolario de este teorema es equivalente al enunciado: Existen en $\cal S$ las $mn$ derivadas parciales $\partial_i \varphi^j ;\, i=1,\ldots,n; \, j=1,\ldots,m$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots,
{\vec e}_n)$ de E y son todas continuas.


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Guillermo M. Luna
2009-06-14