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Aplicaciones de clase $C^k$

Notaciones. Sea ${\cal E} \supset {\cal S} \mathop{\longrightarrow}\limits_{\varphi} \cal F$. Sea $m$ un punto interior de $\cal S$.

1. Sean ${\vec u}_1,\ldots,{\vec u}_r \in F$. Escribimos:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{{\vec u}_r \cdots {\vec u}_1}... ...{\vec u}_r} \cdots \partial_{{\vec u}_1} \varphi \right) (m)}$}$$
   
   
   si esta derivada existe.
2. En particular si $\cal E$ es de dimensión finita y $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ es una base de $E$ ponemos:
   
   $$\fbox{${\displaystyle \partial_{i_r \cdots i_1} \varphi(m) = ... ...ft( \partial_{i_r} \cdots \partial_{i_1} \varphi \right) (m)}$}$$
   
   
   si esta derivada existe. Aquí $\partial_i$ son las derivadas parciales con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de $E$.

   $\partial_{i_r \cdots i_1} \varphi (m)$ se llaman las DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN $r$ de $\varphi$ en $m$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de $E$.

Usando el concepto de diferenciales de orden superior que aquí no definiremos, se puede formular, análogamente a la definición 4.5.1, una definición de aplicaciones de clase $C^k$ para $k\in {\mathbb{N}}$ arbitrario.

En este libro nos será suficiente limitarnos al caso de ser $\cal E$ de dimensión finita, en el cual podemos contentarnos con una definición inspirada por el teorema 4.5.1.

Definición 5.2   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados. $\cal E$ se supone de dimensión finita. Sean $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi$ una aplicación $\colon {\cal S} \to \cal F$. Sea $k\in {\mathbb{N}}$. Se dice que la aplicación $\varphi$ es VECES CONTINUAMENTE DIFERENCIABLE EN EL ABIERTO $\cal S$ o de CLASE en $\cal S$ si $\forall\, r \in [\![ 1,k ]\!]$ y $\forall\, {\vec u}_1,\ldots,{\vec u}_r \in E$ existe en todo punto de $\cal S$ la derivada $\partial_{{\vec u}_r \cdots {\vec u}_1} \varphi$ y es continua en $\cal S$. Se dice que $\varphi$ es de CLASE en $\cal S$ si es de clase $C^k$ en $\cal S$ $\forall\, k \in {\mathbb{N}}$.

Patentemente si $1 \le j \le k \le \infty$ toda aplicación de clase $C^k$ es a fortiori una aplicación de clase $C^j$ en $\cal S$.

Observación
Supongamos que también $\cal F$ es de dimensión finita. Sea $(J; {\vec f}_1,\ldots,{\vec f}_m)$ un referencial en $\cal F$ y sean $\varphi^1,\ldots,\varphi^m \colon {\cal S} \to {\mathbb{R}}$ las funciones coordenadas de $\varphi$, con respecto a dicho referencial. $\varphi$ será de clase $C^k$ en $\cal S$ si $\forall\, j \in [\![ 1,m ]\!]$, $\forall\, r \in [\![ 1,k ]\!]$ y $\forall\, {\vec u}_1,\ldots,{\vec u}_r \in E$ existe en todo punto de $\cal S$ la derivada $\partial_{{\vec u}_r \cdots {\vec u}_1} \varphi^j$ y es continua en $\cal S$.

Definición 5.3   Se dice que $\varphi$ es de CLASE en el abierto $\cal S$ de $\cal E$ si $\varphi$ es continua en $\cal S$.

Aunque esta definición resulta a veces cómoda, no haremos uso de ella en lo que queda de esta sección, donde supondremos en general $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$, luego $k \ne 0$, pues para nosotros ``${\mathbb{N}}$ empieza con uno''.

Teorema 5.2   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales asociados $E, F$. $\cal E$ se supone de dimensión finita y su espacio vectorial asociado $E$ provisto de una base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$. Sean $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal F$. Sea $k\in {\mathbb{N}}$.

$\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$ si y sólo si $\forall\, r \in [\![ 1,k ]\!]$ y $\forall \, i_1,\ldots, i_r \in [\![ 1,n ]\!]$ existen en $\cal S$ las derivadas parciales de orden $r$: $\partial_{i_r \cdots i_1} \varphi$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de $E$ y son continuas en $\cal S$.

Si además $\cal F$ es de dimensión finita $m$ y $\varphi^1,\ldots,\varphi^m \colon {\cal S} \to {\mathbb{R}}$ son las funciones coordenadas de $\varphi$ con respecto a un referencial de $\cal F$, $\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$ si y sólo si $\forall\, j \in [\![ 1,m ]\!]$ la función $\varphi^j$ es de clase $C^k$ en $\cal S$, es decir, $\forall r \in [\![ 1,k ]\!]$ y $\forall \, i_1,\ldots, i_r \in [\![ 1,n ]\!]$ existen en $\cal S$ las derivadas parciales $\partial_{i_r \cdots i_1} \varphi^j$ de orden $r$ en $\cal S$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ de $E$ y son funciones continuas en $\cal S$.

Nota
Para evitar excursiones más profundas, e innecesarias en este libro, al cálculo diferencial, definimos aplicaciones de clase $C^k$ solamente en el caso de ser el dominio $\cal E$ de dichas funciones de dimensión finita. Por consiguiente, mantendremos esta hipótesis en todos los teoremas a continuación concernidos con aplicaciones de clase $C^k$.

Teorema 5.3   Sean $\cal E$ un espacio afín normado de dimensión finita y $F$ un espacio vectorial normado. Sea $\cal S$ un abierto en $\cal E$.

1. El conjunto $C^k ({\cal S}, F)$ de todas las aplicaciones ${\cal S} \to F$ de clase $C^k$ es un espacio vectorial real.
2. Si $\varphi \in C^k ({\cal S}, F)$ y $f \in C^k ({\cal S}, {\mathbb{R}})$, la aplicación $f \varphi \colon {\cal S} \to F$ es de clase $C^k$. (Un caso particular frecuente es que también $F= {\mathbb{R}}$).

Teorema 5.4   Si ${\cal E},\, \cal F$ son espacios afines normados y $\cal E$ es de dimensión finita, toda aplicación afín $\Phi\colon {\cal E} \to \cal F$ es de clase $C^\infty$.

Demostración
Si $(I; {\vec e}_1,\ldots,{\vec e}_n)$ es un referencial en $\cal E$, vale por la fórmula (5), después de las definiciones 4.1.6:

$$\Phi\left( I + \sum_{i=1}^n t^i {\vec e}_i\right) = \Phi(I)+ \sum_{i=1}^n t^i \Phi_*({\vec e}_i)$$

De ahí las derivadas de primer orden de $\Phi$ con respecto a la base $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ del espacio vectorial $E$ asociado a $\cal E$ son las constantes:

$$\partial_i \Phi \left( I + \sum_{k=1}^n t^k {\vec e}_k \right) = \Phi_* ({\vec e}_i)$$

y todas las derivadas parciales de órdenes superiores valen cero. Así pues, todas las derivadas parciales de $\Phi$ existen en $\cal E$ y son continuas. Luego $\Phi$ es de clase $C^\infty$. $\quad\Box$

Teorema 5.5  

1. Sea $\cal S$ un abierto de un espacio afín normado $\cal E$ de dimensión finita. La identidad ${\cal I}_{\cal S}$ es una aplicación de clase $C^\infty$ en $\cal S$.
2. Sean ${\cal E}$, ${\cal F}$, $\cal G$ espacios afines normados con $\cal E$ y $\cal F$ de dimensiones finitas. Sean ${\cal S}$ y $\cal T$ partes abiertas de sendos espacios ${\cal E}$ y $\cal F$. Sea $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$. Si $\varphi \colon {\cal S} \to {\cal T}$ y $\psi \colon {\cal T} \to {\cal G}$ son aplicaciones de clase $C^k$, también la aplicación $\psi \circ \varphi \colon {\cal S} \to \cal G$ es de clase $C^k$.

Teorema 5.6 (Carácter local de aplicaciones de clase $C^k$)   Sean ${\cal E}$, $\cal F$ espacios afines normados de dimensiones finita y $\cal S$ un abierto de $\cal E$. Sea $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$.

1. Si $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ es una aplicación de clase $C^k$ en $\cal S$, la restricción de $\varphi$ a todo abierto $\cal T$ de $\cal E$ contenido en $\cal S$ es una aplicación de clase $C^k$ en $\cal T$.
2. Si $(G_i)_{i \in I}$ es un recubrimiento abierto de $\cal S$ y $\varphi$ una aplicación ${\cal S} \to \cal F$ cuya restricción a $G_i$ es de clase $C^k$ en $G_i \, \forall\, i \in I$, $\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$.

Teorema 5.7 (de H. A. Schwartz)   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales E, F. Suponemos $\cal E$ de dimensión finita. Sean $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^2$. Vale:

$$\fbox{${\displaystyle \forall\, \vec u, \, \vec v \in E\quad ... ...tial_{\vec u,\, \vec v} \varphi \quad \mbox{en} \;\; \cal S.}$}$$

En particular si $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ es una base de E y $\partial_1,\ldots,\partial_n$ designan las derivaciones parciales con respecto a dicha base, vale

$$\fbox{${\displaystyle \forall\, i,\, j \in [\![ 1,n ]\!]\quad... ...\varphi = \partial_{ij} \varphi \quad \mbox{en} \;\; \cal S.}$}$$

He aquí una generalización:

Teorema 5.8   Sean ${\cal E},\cal F$ espacios afines normados sobre sendos espacios vectoriales $E, F$. Suponemos $\cal E$ de dimensión finita. Sea $k\in {\mathbb{N}}$. Sean $\cal S$ un abierto de $\cal E$ y $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^k$. Sea $r\in [\![ 1,k ]\!]$. Para vectores ${\vec u}_1,\ldots,{\vec u}_r$ arbitrarios en E y $\forall\, \sigma \in \mbox{\frakiii S}_r$ permutación de grado r, vale:

$$\fbox{${\displaystyle \partial_{{\vec u}_r \cdots {\vec u}_1}... ...s {\vec u}_{\sigma (1)}} \varphi \quad \mbox{en} \;\; \cal S}$}$$

En particular, si $({\vec e}_1,\ldots, {\vec e}_n)$ es una base de $E$, se tiene para las derivadas parciales de orden $r$ con respecto a dicha base:

$$\fbox{${\displaystyle \forall\, i_1,\ldots,i_r \in [\![ 1,n ]... ... \cdots i_{\sigma (1)}} \varphi \quad \mbox{en} \;\; \cal S.}$}$$

Definición 5.4   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de dimensiones finitas y ${\cal S},\cal T$ partes abiertas en sendos espacios ${\cal E},\, \cal F$. Sea $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$. Una aplicación $\varphi \colon {\cal S} \to {\cal T}$ se dice ISOMORFISMO de $\cal S$ sobre $\cal T$ si:

1. $\varphi$ es una biyección de $\cal S$ sobre $\cal T$.
2. $\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$.
3. $\varphi^{-1}$ es de clase $C^k$ en $\cal T$.

Patentemente, un isomorfismo $C^k$ de $\cal S$ sobre $\cal T$ es a fortiori un isomorfismo diferenciable de $\cal S$ sobre $\cal T$. De ahí y del corolario 1 del teorema 4.4.5, vemos que en las condiciones de la definición 4.5.4 vale necesariamente:

$$\fbox{${\displaystyle \mbox{\rm dim }{\cal F} = \mbox{\rm dim }\cal E}$}$$

Teorema 5.9   Fijemos $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$.

1. Si $\cal S$ es un abierto de un espacio afín normado de dimensión finita, la aplicación idéntica ${\cal I}_{\cal S}$ es un isomorfismo $C^k$ de $\cal S$ sobre sí.
2. Si $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de un abierto $\cal S$ de un espacio afín normado $\cal E$ de dimensión finita sobre un abierto $\cal T$ de un espacio afín normado $\cal F$ de dimensión finita, $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo $C^k$ de $\cal T$ sobre $\cal S$.
3. Sean ${\cal E},\, {\cal F},\, {\cal G}$ espacios afines normados de dimensión finita y sean ${\cal S},\, {\cal T},\, \cal V$ partes abiertas de sendos espacios ${\cal E},\, {\cal F},\, \cal G$.

   Si $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $\cal S$ sobre $\cal T$ y $\psi$ es un isomorfismo $C^k$ de $\cal T$ sobre $\cal V$, la aplicación compuesta $\psi\circ \varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $\cal S$ sobre $\cal V$.

De los teoremas citados en esta sección el más profundo es:

Teorema 5.10 (de la aplicación inversa)   Sean ${\cal E}$, ${\cal F}$ espacios afines normados de dimensiones finitas sobre sendos espacios vectoriales $E$, $F$. Sea $\cal S$ un abierto en $\cal E$ y sea $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^k$ en $\cal S$ $(k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \})$.

Se supone que en cierto punto $a\in \cal S$, la diferencial correspondiente $d\varphi (a)$ es un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$. (Esta condición implica $\mbox{\rm dim } {\cal F} = \mbox{\rm dim } \cal E$. En presencia de una base de $E$ y de un referencial en $\cal F$, dicha condición equivale a que el determinante de la correspondiente matriz jacobiana de $\varphi$ en $a$ es distinto de cero).

Entonces existe una vecindad abierta $\cal V$ del punto $a$, contenida en $\cal S$, tal que la restricción de $\varphi$ a $\cal V$ es un isomorfismo $C^k$ de $\cal V$ sobre un abierto $\varphi(\cal V)$ de $\cal F$.

Recordemos que si $X,\, Y$ son espacios topológicos, entonces una aplicación $\varphi \colon X \to Y$ se llama HOMEOMORFISMO LOCAL de $X$ en $Y$, si todo punto $m \in X$ posee vecindad abierta $V$ tal que la restricción $\varphi_V$ es un homeomorfismo de $V$ sobre un abierto $\varphi(V)$ de $Y$.

Todo homeomorfismo local $\varphi \colon X \to Y$ es una aplicación abierta.

En efecto, sea $G$ un abierto de $X$ y $\forall\, p \in G$ sea $V_p$ una vecindad abierta de $p$ en $X$ tal que la restricción $\varphi_{V_p}$ es un homeomorfismo de $V_p$ sobre un abierto $\varphi(V_p)$ de $Y$. Vale $\varphi(G) = \bigcup_{p \in G} \varphi (G \cap V_p)$. Ya que $\forall\, p \in G$ el conjunto $\varphi(G \cap V_p)$ es abierto en $Y$ se sigue que $\varphi (G)$ es abierto en $Y$.

He aquí un criterio muy usado para que una aplicación sea un isomorfismo $C^k$.

Teorema 5.11   Sean ${\cal E},\, \cal F$ espacios afines normados de dimensiones finitas sobre sendos espacios vectoriales $E$, $F$ y sea $\cal S$ un abierto en $\cal E$. Sea $\varphi \colon {\cal S} \to \cal F$ una aplicación de clase $C^k$ ( $k \in {\mathbb{N}}\cup \{ \infty \}$). Se supone $\forall \, p \in \cal S$ la diferencial $d \varphi(p)$ es un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$. Resulta que $\varphi$ es un aplicación abierta.

Si además $\varphi$ es una aplicación inyectiva, $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ del abierto $\cal S$ de $\cal E$ sobre el abierto $\varphi ({\cal S})$ de $\cal F$.

Demostración
Puesto que $\forall \, p \in \cal S$, la diferencial $d \varphi(p)$ es un isomorfismo lineal de $E$ sobre $F$, en virtud del teorema 4.5.10, todo punto $p \in \cal S$ posee una vecindad abierta $V_p$ contenida en $\cal S$ tal que la restricción de $\varphi$ a $V_p$ es un isomorfismo $C^k$, a fortiori un homeomorfismo local de $\cal S$ en $\cal F$ y, por lo tanto, es una aplicación abierta de $\cal S$ en $\cal F$. En particular el conjunto $\varphi ({\cal S})$ en abierto en $\cal F$.

Supongamos que, además, $\varphi$ es una aplicación inyectiva. Podemos, pues, considerar $\varphi$ como una biyección del abierto $\cal S$ de $\cal E$ sobre el abierto $\varphi ({\cal S})$ de $\cal F$. Por hipótesis $\varphi$ es de clase $C^k$ en $\cal S$. Por el teorema 4.5.10, $\forall \, p \in \cal S$ la restricción de $\varphi^{-1}$ al abierto $\varphi(V_p)$ es (un isomorfismo) de clase $C^k$.

Ya que $\varphi({\cal S}) = \bigcup_{p \in {\cal S}} \varphi (V_p)$, por el teorema 4.5.6 (``carácter local de las aplicaciones de clase $C^k$''), la aplicación $\varphi^{-1}$ es de clase $C^k$ en el abierto $\varphi ({\cal S})$.

De ahí concluimos que $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ del abierto $\cal S$ de $\cal E$ sobre el abierto $\varphi ({\cal S})$ de $\cal F$. $\quad\Box$

Un contraejemplo

El simple contraejemplo a continuación muestra que la inyectividad de $\varphi$ no es una consecuencia de las demás hipótesis del teorema 4.5.7, aunque unos viejos autores ``hacían como si lo creyesen''.

Sea $\varphi \colon {\mathbb{R}}^2 \to {\mathbb{R}}^2$ la aplicación:

$$\varphi(x,y) = \colon \left( e^x \cos y, e^x \mbox{\rm sen}\, y \right) \quad \forall\, (x,y) \in {\mathbb{R}}^2$$

$\varphi$ es una aplicación de clase $C^\infty$ de ${\mathbb{R}}^2$ en ${\mathbb{R}}^2$. También:

$$J \varphi(x,y) = \left\vert \begin{array}{rr} e^x \cos y & -... ...ight\vert = e^{2x} \ne 0\;\; \forall\, (x,y) \in {\mathbb{R}}^2$$

Equivalentemente $\forall\, (x,y) \in {\mathbb{R}}^2$ la diferencial $d\varphi(x,y)$ es un automorfismo lineal de ${\mathbb{R}}^2$. Pero $\varphi$ no es inyectiva pues $\forall \, p \in {\mathbb{Z}}$:

$$\varphi(x, y + 2p \pi)= \varphi(x,y)$$

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