Siguiente: Producto de variedades Arriba: Mapas y atlas admisibles. Anterior: Estructura inducida por un

Isomorfismos $C^k$

Definición 1.9   Sean $M,\, N$ variedades $C^k$ y $\varphi$ un homeomorfismo del espacio topológico $M$ sobre el espacio topológico $N$. $\varphi$ se dice ISOMORFISMO DE LA VARIEDAD DIFERENCIABLE SOBRE LA VARIEDAD DIFERENCIABLE si la estructura $C^k$ inducida por el homeomorfismo $\varphi$ sobre N coincide con la estructura $C^k$ dada sobre $N$.

Equivalentemente:

Para cierto atlas admisible sobre $M$, $\varphi ( \mbox{\frakiii U})$ es un atlas admisible de $N$. (En tal caso, lo mismo ocurre para cualquier atlas admisible sobre $M$.)

Aquí, como en el capítulo 4, no usaremos la mal ensamblada palabra ``difeomorfismo'' como sustituto de ``isomorfismo $C^k$''.

Teorema 1.11  

1. Si $M$ es una variedad $C^k$, la aplicación idéntica ${\cal I}_M$ de $M$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $M$.
2. Si $M$, $N$ son variedades $C^k$ y $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$ la aplicación $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo $C^k$ de $N$ sobre $M$.
3. Si $M$, $N$, $P$ son variedades $C^k$ y además $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$ y $\psi$ es un isomorfismo $C^k$ de $N$ sobre $P$, la aplicación $\psi\circ \varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $P$.

Demostración
Siendo evidentemente cierta la afirmación a., probemos b. y c.

1. Sea un atlas admisible de $M$. Ya que por hipótesis, $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$, el atlas $\mbox{\frakiii V} = \colon \varphi (\mbox{\frakiii U})$ es un atlas admisible sobre $N$. Pero $\varphi^{-1} (\mbox{\frakiii V} ) = \mbox{\frakiii U}$, atlas admisible sobre $M$. Por lo tanto, $\varphi^{-1}$ es un isomorfismo $C^k$ de sobre .
2. Sea un atlas admisible de $M$. Puesto que $\varphi$ es un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$, el atlas $\varphi ( \mbox{\frakiii U})$ es un atlas admisible de $N$. Como $\psi$ es un isomorfismo $C^k$ de $N$ sobre $P$, el atlas $\psi (\varphi ( \mbox{\frakiii U}))$ es un atlas admisible de $P$.

   Si $\mbox{\frakiii U} = (U_\alpha, x_\alpha, n_\alpha)_{\alpha \in I}$, se tiene $\varphi ( \mbox{\frakiii U}) = ( \varphi( U_\alpha), x_\alpha \circ \varphi^{-1}, n_\alpha)$ y

   $$\begin{eqnarray*} \psi (\varphi ( \mbox{\frakiii U})) &=& \left( \psi (\varphi( ... ...circ (\psi \circ \varphi)^{-1}, n_\alpha \right)_{\alpha \in I} \end{eqnarray*}$$
   
   
   de donde $\psi( \varphi( \mbox{\frakiii U})) = ( \psi \circ \varphi)( \mbox{\frakiii U})$. La aplicación $\psi\circ \varphi$ es, pues, un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $P$. $\quad\Box$

Definición 1.10   Sean $M$, $N$ variedades $C^k$. Se dice que la variedad $M$ es ISOMORFA $C^k$ a la variedad $N$, si existe un isomorfismo $C^k$ de $M$ sobre $N$.

El teorema 5.1.11 entraña sin más:

Teorema 1.12  

1. Toda variedad diferenciable $M$ de clase $C^k$ es isomorfa $C^k$ a sí misma.
2. Si $M$, $N$ son variedades $C^k$ y $N$ es isomorfa $C^k$ a $M$, la variedad $M$ es isomorfa $C^k$ a $N$.
3. Si $M$, $N$, $P$ son variedades $C^k$ tales que $N$ es isomorfa $C^k$ a $M$ y $P$ es isomorfa $C^k$ a $N$, la variedad $P$ es isomorfa $C^k$ a $M$.

Siguiente: Producto de variedades Arriba: Mapas y atlas admisibles. Anterior: Estructura inducida por un