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Estructura $C^k$ inducida por un homeomorfismo

Sean $M$ una variedad $C^k$, $N$ un espacio topológico y $\varphi$ un homeomorfismo de $M$ sobre $N$. Sea $\mbox{\frakiii U} = (U_\alpha, x_\alpha, n_\alpha)_{\alpha \in I}$ un atlas admisible de $M$. Para todo $\alpha \in I$, $\varphi(U_\alpha)$ es un abierto de $N$ e $y_\alpha = \colon x_\alpha \circ \varphi^{-1}$ es un homeomorfismo del abierto $\varphi(U_\alpha)$ de $N$ sobre el abierto $y_\alpha (\varphi(U_\alpha)) = x_\alpha (U_\alpha)$ de ${{\mathbb{R}}}^{n_\alpha}$, o sea, $(\varphi(U_\alpha), y_\alpha, n_\alpha)$ es un mapa del espacio topológico $N$. Puesto que $(\varphi(U_\alpha))_{\alpha \in I}$ es un recubrimiento de $N$, la familia:

$$\varphi( \mbox{\frakiii U}) = \colon \left( \varphi( U_\alpha), y_\alpha, n_\alpha \right)_{\alpha \in I}$$

es un atlas sobre $N$. Por ser $\varphi$ una biyección de $M$ sobre $N$, tenemos:

$$\forall\, \alpha, \, \beta \in I: \ \varphi( U_\alpha) \cap \varphi( U_\beta) = \varphi( U_\alpha \cap U_\beta)$$

de donde:

$$y_\alpha ( \varphi(U_\alpha) \cap \varphi(U_\beta)) = y_\alph... ...phi( U_\alpha \cap U_\beta)) = x_\alpha (U_\alpha \cap U_\beta)$$

Al suponer $U_\alpha \cap U_\beta \ne \emptyset$, equivalentemente $\varphi(U_\alpha ) \cap \varphi(U_\beta) \ne \emptyset$, el cambio de mapa:

$$y_\beta \circ y_\alpha^{-1} \colon y_\alpha (\varphi( U_\alph... ...\beta) ) \to y_\beta( \varphi(U_\alpha) \cap \varphi(U_\beta) )$$

es, pues, idéntico con el cambio de mapa:

$$(x_\beta \circ \varphi^{-1}) \circ (x_\alpha \circ \varphi^{-... ...pha (U_\alpha \cap U_\beta) \to x_\beta (U_\alpha \cap U_\beta)$$

Pero por hipótesis este último es de clase $C^k$. Así pues, el atlas $\varphi ( \mbox{\frakiii U})$ sobre $N$ es coherente $C^k$.

Sea otro atlas admisible de la variedad $M$. Vale $\mbox{\frakiii U} \sim \mbox{\frakiii V}$, es decir $\mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V}$ es un atlas coherente $C^k$ sobre $M$. Razonando sobre $\mbox{\frakiii U}\cup \mbox{\frakiii V}$ como acabamos de hacer sobre , vemos que $\varphi (\mbox{\frakiii U} \cup \mbox{\frakiii V})= \varphi(\mbox{\frakiii U}) \cup \varphi(\mbox{\frakiii V})$ es un atlas coherente $C^k$ sobre $N$, o sea $\varphi (\mbox{\frakiii U}) \sim \varphi (\mbox{\frakiii V})$. La clase de equivalencia del atlas $\varphi ( \mbox{\frakiii U})$ es, pues, independiente de la elección del atlas admisible de $M$. Dicha clase de equivalencia define sobre el espacio topológico $N$ una estructura de vecindad $C^k$ llamada ESTRUCTURA SOBRE INDUCIDA POR EL HOMOMORFISMO $\varphi$.

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