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Sintaxis básica del cálculo de predicados

El CÁLCULO DE PREDICADOS difiere del cálculo proposicional en que en él se habla de objetos o elementos en un dominio. Para predicar sobre elementos se introducirá variables. En otras palabras, aquí las fórmulas atómicas no son tan solo variables proposicionales, como lo eran en el cálculo de proposiciones, sino que ahora han de ser relaciones en un dominio fijo. Entremos en detalles técnicos un poco más adelante.

Definición 1.1   Un ALFABETO $L$ propio para una TEOR´iA DE PRIMER ORDEN es la unión de los siguientes conjutnos de símbolos:

Símbolos especiales

$\mbox{\it SE}=\{(,)\}$

Conectivos lógicos

$\mbox{\it CL}=\{\neg,\lor,\land,\rightarrow,\leftrightarrow\}$

Cuantificadores

$Q=\{\forall,\exists\}$. El símbolo $\forall$ se lee ``para todo'' y se dice ser el CUANTIFICADOR UNIVERSAL y el símbolo $\exists$ se lee ``existe'' y se dice ser el CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.

Variables

$\mbox{\it Var}=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}$

Símbolos constantes

$\mbox{\it Cte}=\{c_0,c_1,c_2,\ldots\}$

Símbolos de relaciones

$\mbox{\it Rel}=\left\{R_j^i\right\}_{j\geq 0}^{i\geq 1}$.

Símbolos de funciones

$\mbox{\it Fun}=\left\{f_j^i\right\}_{j\geq 0}^{i\geq 1}$.

Los conjuntos de constantes, de relaciones y de funciones han de ser finitos. La unión de ellos $\mbox{\it Sig}=\mbox{\it Cte} \cup \mbox{\it Rel} \cup \mbox{\it Fun}$ se dice ser la SIGNATURA de la teoría. Los superíndices $i$ en los símbolos de relación o de función denotan a su respectiva ARIDAD, es decir, al número de ARGUMENTOS o de PLAZAS que involucran.

Así, se tiene que todo alfabeto para una teoría de primer orden queda prácticamente determinado por su signatura. De hecho la unión de los otros conjuntos de símbolos, $\mbox{\it SL}=\mbox{\it SE} \cup Q \cup \mbox{\it Var}$ es común a todos los alfabetos de teorías de primer orden. El alfabeto con signatura vacía, $L_0=\mbox{\it SL}$ se dice ser el ALFABETO DEL CÁLCULO DE PREDICADOS PURO. Veamos algunos ejemplos de alfabetos. En cada caso, describiremos a la signatura y mencionaremos la connotación que se le dará a cada símbolo.

Ejemplo 1.1 (Campos algebraicos)   Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$ el alfabeto cuya signatura es la unión de los conjuntos siguientes:

$\mbox{\it Cte}$:

$0$	unidad aditiva
$1$	unidad multiplicativa

$\mbox{\it Rel}$:

$R_0^2(x,y):=[x=y]$

igualdad usual entre elementos

$\mbox{\it Fun}$:

$f_0^1(x ):=[-x ]$	inverso aditivo
$f_1^1(x ):=[x^{-1} ]$	inverso multiplicativo
$f_0^2(x,y):=[x+y ]$	adición
$f_1^2(x,y):=[x\cdot y]$	multiplicación

Ejemplo 1.2 (Algebras booleanas)   Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it AB}}$ el alfabeto cuya signatura es la unión de los conjuntos siguientes:

$\mbox{\it Cte}$:

$0$	elemento mínimo
$1$	elemento máximo

$\mbox{\it Rel}$:

$R_0^1(x ):=[\mbox{\it Atomo}(x)]$	$x$ es un átomo
$R_0^2(x,y):=[x=y]$	igualdad usual entre elementos
$R_1^2(x,y):=[x\leq y]$	menor o igual a
$R_2^2(x,y):=[x\geq y]$	mayor o igual a
$R_3^2(x,y):=[x < y]$	menor que
$R_4^2(x,y):=[x > y]$	mayor que
$R_5^2(x,y):=[x \mbox{\rm ?} y]$	$x$ e $y$ no son comparables

$\mbox{\it Fun}$:

$f_0^1(x ):=[\overline{x}]$	complemento
$f_0^2(x,y):=[x\land y]$	ínfimo de dos elementos
$f_1^2(x,y):=[x\lor y]$	supremo de dos elementos

Ejemplo 1.3 (Teoría de conjuntos)   Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it TC}}$ el alfabeto cuya signatura es la unión de los conjuntos siguientes:

$\mbox{\it Cte}$:

$\emptyset$

conjunto vacío

$\mbox{\it Rel}$:

$R_0^2(x,y):=[x\in y ]$	pertenencia
$R_1^2(x,y):=[x\subset y]$	inclusión
$R_2^2(x,y):=[x = y ]$	igualdad

$\mbox{\it Fun}$:

$f_0^1(x ):=[x^c]$	complemento
$f_1^1(x ):=[{\cal P}(x)]$	conjunto de partes
$f_0^2(x,y):=[x\cup y]$	unión
$f_1^2(x,y):=[x\cap y]$	intersección

Ejemplo 1.4 (Geometría del espacio)   Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it GE}}$ el alfabeto cuya signatura consta únicamente de los símbolos de relación:

$\mbox{\it Rel}$:

$R_0^1(x):=[\mbox{\underline{\tt punto}}(x)]$	$x$ es un punto
$R_1^1(x):=[\mbox{\underline{\tt recta}}(x)]$	$x$ es una recta
$R_2^1(x):=[\mbox{\underline{\tt plano}}(x)]$	$x$ es un plano
$R_0^2(x,y):=[\mbox{\underline{\tt est\'a\_en}}(x,y)]$	el punto $x$ está en la recta o en el plano $y$
$R_1^2(x,y):=[\mbox{\underline{\tt pasa\_por}}(x,y)]$	inversa de $\mbox{\underline{\tt est\'a\_en}}(x,y)$
$R_2^2(x,y):=[\mbox{\underline{\tt yace\_en}}(x,y)]$	la recta $x$ yace en el plano $y$
$R_3^2(x,y):=[\mbox{\underline{\tt contiene\_a}}(x,y)]$	inversa de $\mbox{\underline{\tt yace\_en}}(x,y)$
$R_4^2(x,y):=[\mbox{\underline{\tt corta\_a}}(x,y)]$	$x$ corta a $y$
$R_5^2(x,y):=[\mbox{\underline{\tt coplanares}}(x,y)]$	las rectas $x$, $y$ son coplanares
$R_0^3(x,y,z):=[\mbox{\underline{\tt colineales}}(x,y,z)]$	los puntos $x$, $y$, $z$ son colineales
$R_1^3(x,y,z):=[\mbox{\underline{\tt entre}}(x,y,z)]$	el punto $y$ está entre los puntos $x$, $z$
$R_0^4(x,y,z,w):=[\mbox{\underline{\tt congruente}}(x,y,z,w)]$	el segmento $\overline{xy}$ es congruente con el segmento $\overline{zw}$

Ejemplo 1.5 (Parentesco)   Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it Pco}}$ el alfabeto cuya signatura consta de los símbolos de relación y de función siguientes:

$\mbox{\it Rel}$:

Hay símbolos unarios y binarios, cada uno con una connotación obvia:

• Unarios: $\mbox{\underline{\tt var\'on}}$, $\mbox{\underline{\tt mujer}}$, $\mbox{\underline{\tt hijo\_leg\'\i timo}}$, $\mbox{\underline{\tt bastardo}}$. Cada uno de éstos es de la forma $p(x)$: ``$x$ es $p$''.
• Binarios: Cada uno de los siguientes es de la forma $p(x,y)$: ``$x$ es $p$ de $y$''. Estos son: $\mbox{\underline{\tt progenitor}}$, $\mbox{\underline{\tt hijo}}$, $\mbox{\underline{\tt hermano}}$, $\mbox{\underline{\tt t\'\i o}}$, $\mbox{\underline{\tt sobrino}}$, $\mbox{\underline{\tt primo}}$, $\mbox{\underline{\tt abuelo}}$, $\mbox{\underline{\tt nieto}}$, $\mbox{\underline{\tt bisabuelo}}$, $\mbox{\underline{\tt bisnieto}}$, $\mbox{\underline{\tt tatarabuelo}}$, $\mbox{\underline{\tt tataranieto}}$, $\mbox{\underline{\tt ancestro}}$, $\mbox{\underline{\tt descendiente}}$, $\mbox{\underline{\tt casamiento}}$, $\mbox{\underline{\tt c\'onyuge}}$, $\mbox{\underline{\tt concubino}}$, $\mbox{\underline{\tt suegro}}$, $\mbox{\underline{\tt yerno}}$, $\mbox{\underline{\tt nuera}}$, $\mbox{\underline{\tt cu\~nado}}$, $\mbox{\underline{\tt consuegro}}$, $\mbox{\underline{\tt concu\~no}}$, $\mbox{\underline{\tt padrastro}}$, $\mbox{\underline{\tt hijastro}}$.

$\mbox{\it Fun}$:

Igualmente, hay símbolos unarios y binarios, cada uno con una connotación obvia:

• Unarios: $\mbox{\underline{\tt padre}}$, $\mbox{\underline{\tt madre}}$, $\mbox{\underline{\tt marido}}$, $\mbox{\underline{\tt esposa}}$, $\mbox{\underline{\tt primog\'enito}}$, $\mbox{\underline{\tt abuelo\_paterno}}$, $\mbox{\underline{\tt abuela\_paterna}}$, $\mbox{\underline{\tt abuelo\_materno}}$, $\mbox{\underline{\tt abuela\_paterna}}$. Cada uno de éstos es de la forma $f(x)$: ``el (la) $f$ de $x$''.
• Binarios: Cada uno de los siguientes es de la forma $f(x,y)$: ``el (la) $f$ de $x$ y de $y$''. Estos son: $\mbox{\underline{\tt hijo\_mayor}}$, $\mbox{\underline{\tt hijo\_menor}}$.

Ejemplo 1.6 (Geografía política)   Sea $L_{\mbox{\scriptsize\it GP}}$ el alfabeto cuya signatura consta de los símbolos de relación y de función siguientes:

$\mbox{\it Cte}$:

Distinguimos dos tipos de constantes. Uno incluye a $\mbox{\underline{\tt Africa}}$, $\mbox{\underline{\tt Am\'erica}}$, $\mbox{\underline{\tt Ant\'artida}}$, $\mbox{\underline{\tt Asia}}$, $\mbox{\underline{\tt Europa}}$, $\mbox{\underline{\tt Ocean\'\i a}}$. El otro comprende a la lista de paises, digamos que inscritos en la FIFA: $\mbox{\underline{\tt Afganist\'an}}$, $\ldots$ , $\mbox{\underline{\tt M\'exico}}$, $\ldots$ , $\mbox{\underline{\tt Zambia}}$.

$\mbox{\it Rel}$:

Consideramos símbolos unarios y binarios:

• Unarios: $\mbox{\underline{\tt continente}}$, $\mbox{\underline{\tt pa\'\i s}}$, $\mbox{\underline{\tt isla}}$, $\mbox{\underline{\tt pa\'\i s\_hegem\'onico}}$. Cada uno de éstos es de la forma $p(x)$: ``$x$ es $p$''.
• Binarios: Cada uno de los siguientes es de la forma $p(x,y)$: ``$x$ $p$ $y$''. Estos son: $\mbox{\underline{\tt est\'a\_en\_el\_\'area\_de\_hegemon\'\i a\_de}}$, $\mbox{\underline{\tt est\'a\_en}}$, $\mbox{\underline{\tt conlinda\_con}}$.

$\mbox{\it Fun}$:

Sólo hay símbolos unarios:

• Unarios: $\mbox{\underline{\tt continente\_de}}$, $\mbox{\underline{\tt l\'\i der\_hegem\'onico\_de}}$. Cada uno de éstos es de la forma $f(x)$: ``el $f$ $x$''.

La lista de ejemplos podría extenderse arbitrariamente. Como se desprende de los ejemplos presentados, la parte distintiva de un alfabeto está constituída, repetimos sólo para enfatizar, por su signatura. Ahora bien, hemos omitido símbolos de funciones de aridad 0. Esto es un mero artificio. Si los introdujéramos, podríamos omitir al conjunto de constantes pues toda función sin ningunos argumentos puede hacer las veces de una constante. Esta sutileza es insignificante, y hemos preferido aquí distinguir propiamente al conjunto de constantes.

Sea pues $L=\mbox{\it SL}\cup\mbox{\it Sig}$ un alfabeto para una teoría de primer orden, y sea $L^*$ el DICCIONARIO, es decir, el conjunto de palabras de longitud finita, con símbolos en $L$. En $L^*$ distinguiremos a los conjuntos de términos y de fórmulas bien formadas.

Definición 1.2   El conjunto de TÉRMINOS, $\mbox{\it Term}(L)$ se construye recursivamente como sigue:

• Las variables y las constantes son términos.
• Las funciones aplicadas sobre términos producen nuevos términos.

Puesto en símbolos:

$$\begin{eqnarray*} x\in\mbox{\it Var} &\Rightarrow& x\in \mbox{\it Term}(L) \\ ... ..._j^i\left(\xi_1,\ldots,\xi_i\right)\in \mbox{\it Term}(L) %%\\ \end{eqnarray*}$$

Por ejemplo, considerando el alfabeto $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$ de campos algebraicos, presentamos algunos términos en la tabla 3.1: en la primera columna aparecen términos formales y en la segunda columna la forma en la que los escribimos cotidianamente.

Table: Ejemplos de términos en $L_{\mbox{\scriptsize \it CA}}$.

$f_0^2\left(f_0^2\left(f_1^2\left(x_1,f_1^2\left(x_2,x_2\right)\right),f_1^2\left(x_3,x_2\right)\right),f_0^1\left(x_4\right)\right)$	:	$x_1 x_2^2 + x_3x_1 - x_4$
$f_1^2\left(f_0^2\left(f_1^2\left(x_0,x_0\right),f_0^1\left(1\right)\right),f_0^2\left(f_1^2\left(x_0,x_0\right),f_0^1\left(1\right)\right)\right)$	:	$(x_0^2-1)^2$
$f_1^1\left(f_0^2\left(1,f_0^1\left(f_1^2\left(x_0,x_0\right)\right)\right)\right)$	:	$\frac{1}{1-x_0^2}$

En el alfabeto de parentesco $L_{\mbox{\scriptsize\it Pco}}$, el término $\mbox{\underline{\tt hijo\_mayor}}(\mbox{\underline{\tt padre}}(x))$ se refiere al ``hermano mayor'' de $x$, el término $\mbox{\underline{\tt madre}}(\mbox{\underline{\tt hijo\_mayor}}(x))$ acaso a la ``primera mujer'' de $x$, e $\mbox{\underline{\tt hijo\_mayor}}(\mbox{\underline{\tt abuelo\_paterno}}(x),\mbox{\underline{\tt abuela\_paterna}}(x))$ al tío mayor de $x$.

Definición 1.3   Las FÓRMULAS ATÓMICAS, o ´ATOMOS simplemente, se obtienen de evaluar símbolos de relación sobre términos:

$$R_j^i\in\mbox{\it Rel}\ ,\ \xi_1,\ldots,\xi_i\in \mbox{\it Te... ...\ \ R_j^i\left(\xi_1,\ldots,\xi_i\right)\in \mbox{\it Atom}(L).$$

Por ejemplo, en el alfabeto $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$ de campos algebraicos, el átomo

$$R_0^2\left(f_0^2\left(f_0^2\left(f_1^2\left(x_1,f_1^2\left(x_... ...ht)\right),f_1^2\left(x_2,x_0\right)\right),x_3\right),0\right)$$

representa la ecuación de segundo grado:

$$x_1x_0^2+x_2x_0+x_3=0.$$

En el lenguaje de parentesco, todo árbol genealógico representa un conjunto de átomos. En la figura  presentamos una célebre genealogía debida a Gabriel García Márquez, aquella de sus Cien Años de Soledad. Los átomos son evidentes. Presentamos únicamente la línea de descendencia de los Buendía. En caso necesario, presentamos a los cónyuges.

Una estirpe condenada a cien años de soledad.

Definición 1.4   El conjunto de FÓRMULAS BIEN FORMADAS, $\mbox{\it Fbf}(L)$ se obtiene partiendo de los átomos, componiéndolos con los conectivos lógicos y cuantificando adecuadamente sobre variables: Puesto en símbolos:

$$\begin{eqnarray*} R_j^i\left(\xi_1,\ldots,\xi_i\right)\in \mbox{\it Atom}(L) &\... ...\forall x\;\phi\,,\, \exists x\;\phi\in \mbox{\it Fbf}(L) %%\\ \end{eqnarray*}$$

La frase adverbial ``de primer orden'' que hasta aquí hemos aplicado en varias ocasiones a las teorías, se debe a que los cuantificadores se aplican sólo en un primer orden, es decir, sólo a las variables. Si introdujéramos variables para denotar símbolos de relaciones o de funciones, o bien términos o fórmulas, entonces ``aumentaríamos el orden de las teorías'' y nos referiríamos a ellas como teorías de alto orden. En este texto nos restringiremos al primer orden de cuantificación. Por razones de precisión en la sintaxis definiremos explícitamente la aparición, ya sea libre o ligada de una variable en una fórmula bien formada. Comenzamos definiendo qué significa que una variable aparezca en un término.

Definición 1.5   Una variable $x\in\mbox{\it Var}$ APARECE EN UN TÉRMINO $t\in\mbox{\it Term}(L)$ en una de las dos siguientes condiciones:

1. $t=x$
2. $t=f_j^i(t_1,\ldots,t_i)$ y $x$ aparece en algún $t_{i_0}$, con $i_0\leq i$.

Un término en el que no aparezcan variables se dice ser CERRADO.

Pasemos ahora a considerar fórmulas bien formadas.

Definición 1.6   Las apariciones de variables en fórmulas se caracterizan como sigue:

1. Una variable $x\in\mbox{\it Var}$ aparece LIBRE en un átomo $R_j^i(t_1,\ldots,t_i)$ si $x$ aparece en algún término $t_{i_0}$, con $i_0\leq i$.
2. $x\in\mbox{\it Var}$ aparece LIBRE o LIGADA en una fórmula compuesta $\neg \phi$, o $\phi *\psi$, con $*=\lor,\land,\rightarrow,\leftrightarrow$, si $x$ aparece, libre o ligada respectivamente, en una de sus componentes $\phi$ o $\psi$.
3. Si $x\in\mbox{\it Var}$ aparece libre en $\phi(x)$ entonces aparecerá LIGADA en $\forall x \, \phi(x)$ y en $\exists x \, \phi(x)$. En este caso, se dice que $\phi(x)$ es el ALCANCE de $x$ en $\forall x \, \phi(x)$ y en $\exists x \, \phi(x)$. Si $y$ es una variable distinta de $x$ entonces $x$ aparecerá en $\forall y \, \phi(y)$ y en $\exists y \, \phi(y)$ igual que como aparece en $\phi(y)$.

Las fórmulas que no contienen variables libres son llamadas ENUNCIADOS.

Así como hay un proceso de deducción natural en el cálculo proposicional, existe uno en el cálculo de predicados. Veremos a continuación la noción de demostrabilidad sintáctica. En ella se tiene una colección de reglas de inferencia aplicadas, a partir de axiomas, a fórmulas previamente deducidas para obtener nuevas fórmulas deducidas, llamadas teoremas. Los axiomas son fórmulas bien formadas distinguidas, de hecho son enunciados.

Definición 1.7 (Axiomas)   Sea $L$ un alfabeto para una teoría de primer orden. Los AXIOMAS en $L$ pueden ser de tres tipos: AXIOMAS LÓGICOS,AXIOMAS DE REESCRITURA y AXIOMAS EXTRALÓGICOS. El conjunto de axiomas lógicos es

$$\mbox{\rm Ax}_{\mbox{\scriptsize\it Log}}(L)= \mbox{\rm Ax}... ...rm Ax}_4(L)\cup \mbox{\rm Ax}_5(L) \subset \mbox{\rm Fbf}(L)$$ (1)

donde

$$\mbox{\rm Ax}_1(L) = \{ \phi \rightarrow(\psi \rightarrow \phi ) \vert\phi ,\psi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}$$ (2)

$$\mbox{\rm Ax}_2(L) = \{ \left(\phi \rightarrow(\psi \rightarrow \chi )\right)\rightarr... ...row(\phi \rightarrow \chi )\right) \vert\phi ,\psi ,\chi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}$$ (3)

$$\mbox{\rm Ax}_3(L) = \{ \left(\neg \phi \rightarrow \psi \right) \rightarrow \left(\le... ...neg \psi \right)\rightarrow \phi \right) \vert\phi ,\psi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}$$ (4)

$$\mbox{\rm Ax}_4(L) = \{ \left(\forall x\, \phi(x) \rightarrow \phi(\xi) \right) \vert\phi\in\mbox{\rm Fbf}(L),\xi\in\mbox{\rm Term}(L)\}$$ (5)

$$\mbox{\rm Ax}_5(L) = \{ \forall x\, \left(\phi \rightarrow\psi(x)\right) \rightarrow \... ...tarrow\forall x\, \psi(x)\right) \vert\phi,\psi(x)\in\mbox{\rm Fbf}(L)\}%%\\$$ (6)

El conjunto de axiomas de reescritura es

$$\mbox{\rm Ax}_{\mbox{\scriptsize\it RE}}(L)= \mbox{\rm Ax}_... ...rm Ax}_8(L)\cup \mbox{\rm Ax}_9(L) \subset \mbox{\rm Fbf}(L)$$ (7)

donde

$$\mbox{\rm Ax}_6(L) = \{(\psi \lor \phi ) \leftrightarrow(\neg \phi \rightarrow \psi ) \vert\phi ,\psi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}$$ (8)

$$\mbox{\rm Ax}_7(L) = \{(\psi \land \phi ) \leftrightarrow\neg (\phi \rightarrow \neg \psi ) \vert\phi ,\psi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}$$ (9)

$$\mbox{\rm Ax}_8(L) = \{(\psi \leftrightarrow \phi ) \leftrightarrow \neg ((\phi \right... ...ightarrow \neg (\psi \rightarrow \phi )) \vert\phi ,\psi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}$$ (10)

$$\mbox{\rm Ax}_9(L) = \{(\exists x\, \phi(x)) \leftrightarrow \neg(\forall x\, \neg\phi(x)) \vert\phi ,\psi \in\mbox{\rm Fbf}(L)\}%%\\$$ (11)

Los axiomas extralógicos son propios de una teoría.

Ejemplifiquemos, para algunos de los alfabetos ya presentados, sistemas de axiomas extralógicos.

Ejemplo 1.7 (Campos algebraicos)   Recordamos que un CAMPO es una estructura algebraica $(A,+,\cdot,0,1)$ tal que la estructura aditiva $(A,+,0)$ forma un grupo abeliano, el producto $\cdot$ se distribuye, por ambos lados, respecto a la adición, y la estructura multiplicativa de elementos no-nulos $(A-\{0\},\cdot,1)$ forma un grupo. La noción de campo es formalizable en una teoría de primer orden.

Explicación. En efecto, a continuación presentaremos los axiomas de campo. En cada uno, presentamos una paráfrasis en lenguaje natural, una formulación en notación de enfijo convencional y el axioma propiamente dicho, en notación de prefijo formal.

• La adición es asociativa. En notación de enfijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z:\, (x+y)+z=x+(y+z)$ En notación de prefijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z\, =++xyz+x+yz$
• La adición es conmutativa. En notación de enfijo: $\forall x\,\forall y:\, x+y=y+x$ En notación de prefijo: $\forall x\,\forall y\, =+xy+yz$
• $0$ es la unidad aditiva. En notación de enfijo: $\forall x:\, 0+x=x$ En notación de prefijo: $\forall x\, =+0xx$
• Cada elemento posee un inverso aditivo. En notación de enfijo: $\forall x\,\exists y:\, x+y=0$ En notación de prefijo: $\forall x\, \neg\forall y\, \neg=+xy0$
• La multiplicación es asociativa. En notación de enfijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z:\, (x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ En notación de prefijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z\, =\cdot \cdot xyz\cdot x\cdot yz$
• $1$ es la unidad multiplicativa. En notación de enfijo: $\forall x:\, 1\cdot x=x\ \ \land\ \ x\cdot 1=x$ En notación de prefijo: $\forall x\, =\cdot 1xx\ \ \land\ \ =\cdot x1x$
• Cada elemento no-nulo posee un inverso multiplicativo. En notación de enfijo: $\forall x\,(x\not= 0\;\rightarrow\;\exists y:\, x\cdot y=1)$ En notación de prefijo: $\forall x\, (\neg =x0\;\rightarrow\;\neg\forall y\, \neg=\cdot xy1)$
• La multiplicación se distribuye por la izquierda respecto a la adición. En notación de enfijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z:\, x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$ En notación de prefijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z\, =\cdot x+yz+\cdot xy\cdot xz$
• La multiplicación se distribuye por la derecha respecto a la adición. En notación de enfijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z:\, (y+z)\cdot x= y\cdot x+z\cdot x$ En notación de prefijo: $\forall x\,\forall y\,\forall z\, =\cdot+yz x+\cdot yx\cdot zx$ $\quad\Box$

Observamos que en las fórmulas anteriores, cuando aparecen conectivos lógicos en las formulaciones de prefijos, a éstos los hemos escrito como operadores de enfijo, con lo cual nos hemos visto obligados a introducir paréntesis. De hecho esto se puede evitar escribiendo a los conectivos lógicos en prefijo. Además como el conjunto de conectivos $\{\neg,\rightarrow\}$ es completo, se podría utilizar sólo a esos dos conectivos. El cálculo formal de predicados asume estas convenciones: utiliza sólo a los conectivos $\neg,\rightarrow$ y los escribe en notación de prefijo. Sin embargo, en Matemáticas se ha tomado el acuerdo implícito de formularlas en un ``alto nivel'', omitiendo las anteriores convenciones sintácticas. De acuerdo con esto, presentaremos los siguientes ejemplos en ese alto nivel, mas el lector ha de tener en cuenta que éste es traducible, incluso mecánicamente, a un cálculo de predicados de primer orden, estrictamente formal.

Ejemplo 1.8 (Teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel)   Esta es una teoría que se formula en el alfabeto $L_{\mbox{\scriptsize\it TC}}$ y es formalizable como una teoría de primer orden.

Explicación. En efecto, de acuerdo con lo planteado anteriormente, describiremos a sus axiomas extralógicos en un alto nivel.

• Inclusión. ``Un conjunto contiene a otro si todo elemento de ese otro está en el primero''.
  $\forall a\,\forall b\,\left(\forall x\,\left(x\in a\rightarrow x\in b\right)\rightarrow a\subset b\right)$
• Extensionalidad. ``Dos conjuntos coinciden si cada uno está incluído en el otro''.
  $\forall a\,\forall b\,\left(a\subset b\ \land\ b\subset a\ \ \leftrightarrow \ \ a=b\right)$
• Apareamiento. ``Dados dos conjuntos la pareja formada por ellos es un conjunto''.
  $\forall a\,\forall b\,\exists c\,\forall x\,\left(x\in c\ \ \leftrightarrow \ \ x=a\ \lor\ x=b\right)$
• Esquema de separación. ``Dado un conjunto y un predicado se puede formar el conjunto de elementos en el conjunto dado que satisfacen al predicado dado''. Si $\phi(x,p)\in\mbox{\rm Fbf}(L_{\mbox{\scriptsize\it TC}})$ es una fórmula bien formada, el siguiente es un axioma:
  $\forall a\,\forall p\,\exists c\,\forall x\,\left(x\in c\ \ \leftrightarrow \ \ x\in a\ \land\ \phi(x,p)\right)$ En este caso se suele escribir $c=\{x\in a\vert\phi(x,p)\}$.
• Unión. ``Dado un conjunto se puede formar la unión de todos sus elementos''.
  $\forall a\,\exists b\,\forall x\,\left(x\in b\ \ \leftrightarrow \ \ \exists c\,(c\in a\ \land\ x\in c)\right)$ En este caso se suele escribir $b=\bigcup_{c\in a} c$.
• Conjunto de partes. ``Dado un conjunto se puede formar el conjunto que consta de todos sus subconjuntos''.
  $\forall a\,\exists b\,\forall x\,\left(x\in b\ \ \leftrightarrow \ \ x\subset a)\right)$ En este caso se suele escribir $b={\cal P}(a)$.
• Infinito. Se dice que un conjunto $a$ es inductivo si de las relaciones $c\in b$ y $b\in a$ se sigue que $c\in a$. El axioma del infinito asegura que: ``Existe un conjunto inductivo que tiene al vacío como un elemento''.
  $\exists i\, \left(\emptyset\in i\ \land\ \forall x\,\left(x\in i\ \ \rightarrow \ \ x\subset i\right)\right)$ Ya que en todo conjunto inductivo $i$ se tiene que $\emptyset\in i$ y además, para cualquier $x$, si $x\in i$ entonces necesariamente $x+1:=x\cup\{x\}\in i$, tenemos que todo conjunto inductivo es infinito, debido a lo cual se justifica el nombre del axioma. El más pequeño de los conjuntos inductivos se identifica con el conjunto ${\mathbb{N}}$ de los números naturales.
• Esquema de Reemplazo. Se dice que una fórmula bien formada $\phi(x,y,p)\in\mbox{\rm Fbf}(L_{\mbox{\scriptsize\it TC}})$ es funcional si ``para cada $x$ a lo sumo existe una sola $y$ relacionada con $x$'', es decir, si rige la implicación
  
  $$\phi(x,y_1,p)\;\land\;\phi(x,y_2,p)\ \rightarrow\ y_1=y_2$$
  
  
  El axioma de reemplazo asegura que: ``La imagen de cualquier conjunto bajo un predicado funcional es un conjunto''. Es decir, si $\phi(x,y,p)\in\mbox{\rm Fbf}(L_{\mbox{\scriptsize\it TC}})$ es funcional, entonces el siguiente es un axioma
  $\forall a\;\forall p\;\exists b\, \forall y\;\left(y\in b\ \leftrightarrow\ \exists x \, \left(x\in a\ \land\ \phi(x,y,p)\right)\right)$
• Regularidad. ``Cualquier conjunto no-vacío posee un elemento minimal respecto a la relación de membresía''.
  $\forall a\, \left(\neg a=\emptyset\ \ \rightarrow \ \ \exists x\left(x\in a\ \land\ \forall y\,\left(y\in a\rightarrow \neg y\in x\right)\right)\right)$
• Elección. ``Cualquier familia no-vacía de conjuntos no-vacíos posee un producto cartesiano no-vacío''.
  $\begin{array}{ll} \forall a\, \left(\neg a=\emptyset\ \land\ \forall y\,\left(... ...rrow \exists y\,\left((z,y)\in x\; \land y\in z\right)\right)\right)\end{array}$

Toda la teoría de conjuntos se desprende de estos axiomas.$\quad\Box$

Ejemplo 1.9 (Geometría de Hilbert)   En su libro clásico Fundamentos de Geometría, David Hilbert plantea una axiomatización de la geometría del espacio euclidiano de tres dimensiones. Sus axiomas se dividen en tres grupos: de incidencia, de orden y de congruencia. Veamos que éstos son formalizables en un primer orden.

Explicación. Planteemos los axiomas divididos por sus tipos: Axiomas de incidencia.

1. ``Para cualesquiera dos puntos dados, existe una única recta que pasa por ellos'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\,\forall x_2 && \left(\mbox{\underline{\tt punto}... ...eft.\left.\left. x_3=x_4 \rule{0cm}{.4cm}\right)\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

2. ``Cada recta posee al menos dos puntos'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_3 && \left(\mbox{\underline{\tt recta}}(x_3) \right... ...derline{\tt pasa\_por}}(x_3,x_2) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

3. ``Existen tres puntos que no son colineales'': Inicialmente introduzcamos a una definición como un axioma:
   $$\begin{eqnarray*} \mbox{\underline{\tt colineales}}(x_1,x_2,x_3) && \leftrighta... ...derline{\tt pasa\_por}}(x_4,x_3) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   entonces el axioma enunciado es el siguiente:
   
   $$\exists x_1\, \exists x_2\, \exists x_3 \, \left(\mbox{\under... ...\land \neg\mbox{\underline{\tt colineales}}(x_1,x_2,x_3)\right)$$
   
   

4. ``Por tres puntos que no son colineales pasa un único plano'': Introduzcamos un predicado:
   
   $$\begin{array}{l} \mbox{\underline{\tt contiene}}(x_4,x_1,x_2... ...x_2) \land \mbox{\underline{\tt pasa\_por}}(x_4,x_3)\end{array}$$
   
   
   entonces el axioma queda
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\,\forall x_2\,\forall x_3 && \left(\mbox{\underli... ...x_3) \rightarrow x_4=x_5 \rule{0cm}{.4cm}\right)\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

5. ``Ningún plano es vacío'':
   
   $$\forall x_1\, \left(\mbox{\underline{\tt plano}}(x_1)\ \right... ...2)\land \mbox{\underline{\tt pasa\_por}}(x_1,x_2)\right)\right)$$
   
   

6. ``Una recta yace en un plano si al menos dos puntos de la recta están en el plano'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\,\forall x_2 && \left(\mbox{\underline{\tt recta}... ...box{\underline{\tt yace\_en}}(x_1,x_2) \rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

7. ``Si dos planos se cortan, hay al menos dos puntos comunes a los planos'': Introduzcamos el predicado:
   
   $$\begin{array}{l} \mbox{\underline{\tt com\'un}}(x_3,x_1,x_2)... ...x_3) \land \mbox{\underline{\tt pasa\_por}}(x_2,x_3)\end{array}$$
   
   
   entonces el axioma queda
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\,\forall x_2 && \left(\mbox{\underline{\tt plano}... ...x{\underline{\tt com\'un}}(x_4,x_1,x_2) \rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

8. ``Existen cuatro puntos que no son coplanares'': Inicialmente introduzcamos a una definición como un axioma:
   $$\begin{eqnarray*} \mbox{\underline{\tt coplanares}}(x_1,x_2,x_3,x_4) && \leftri... ...derline{\tt pasa\_por}}(x_5,x_4) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   entonces el axioma enunciado es el siguiente:
   $$\begin{eqnarray*} \exists x_1\, \exists x_2\, \exists x_3 \, \exists x_4 && \le... ...erline{\tt coplanares}}(x_1,x_2,x_3,x_4)\rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

Axiomas de orden

1. ``Si un punto está entre otros dos, entonces los tres son colineales'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3 && \left(\mbox{\under... ...\underline{\tt colineales}}(x_1,x_2,x_3)\rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Aquí se puede introducir también la siguiente noción de ``simetría'' de la relación ``entre'':
   
   $$\forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3 \left(\mbox{\underlin... ...3) \rightarrow \mbox{\underline{\tt entre}}(x_3,x_2,x_1)\right)$$
   
   

2. ``Siempre hay un punto entre otros dos distintos'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, && \left(\mbox{\underline{\tt pun... ...and x_3\not=x_1 \land x_3\not=x_2\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

3. ``De entre tres puntos colineales distintos hay uno único que está entre los otros dos'': Introduzcamos un predicado:
   
   $$\mbox{\underline{\tt medio}}(x_1,x_2,x_3) \equiv \mbox{\under... ...1,x_3,x_2) \land \neg \mbox{\underline{\tt entre}}(x_2,x_1,x_3)$$
   
   
   entonces el axioma queda
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3 && \left(\mbox{\under... ...derline{\tt medio}}(x_1,x_3,x_2) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

4. ``Si una recta corta a un lado de un triángulo, entonces ha de cortar a un segundo lado de ese triángulo'': Introduzcamos un predicado que indique que un punto $x_1$ es el de corte de un segmento $\overline{x_2x_3}$ con una recta $x_4$:
   
   $$\mbox{\underline{\tt ptocorte}}(x_1,x_2,x_3,x_4) \equiv \mbox... ...}}(x_2,x_1,x_3) \land \mbox{\underline{\tt pasa\_por}}(x_4,x_1)$$
   
   
   entonces el axioma queda
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3 && \left(\neg\mbox{\u... ...e{\tt ptocorte}}(x_6,x_2,x_3,x_4)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

Axiomas de congruencia. Congruencia de segmentos:

1. ``Para dos puntos en una recta y un tercero en otra, existirá un cuarto punto en la segunda recta de manera que los segmentos delimitados por los cuatros puntos dados son congruentes'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3\, \forall x_4 && \lef... ...\tt congruente}}(x_1,x_2,x_3,x_5)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

2. ``La congruencia de segmentos es transitiva'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3\, \forall x_4\, \fora... ...rline{\tt congruente}}(x_1,x_2,x_5,x_6) \rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

3. ``La congruencia de segmentos es aditiva'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3\, \forall x_4\, \fora... ...tt congruente}}(x_1,x_3,x_4,x_6) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

Congruencia de ángulos: Consideraremos aquí una relación cuaternaria entre rectas:

$$\mbox{\underline{\tt ang\_congruente}}(x_1,x_2,x_3,x_4):\ \mb... ...$ es congruente con el \'angulo $\angle x_3x_4$ \end{minipage}}$$

Los axiomas de congruencia de ángulos son los siguientes:

1. ``Dado un ángulo en un plano, una recta en otro plano y un punto en esta última recta, entonces existen dos rectas en este segundo plano, que cortan a la recta en el punto dado, cuyos ángulos con la recta dada son congruentes con el ángulo dado'':
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3\, \forall x_4\, \fora... ...ng\_congruente}}(x_1,x_2,x_3,x_7)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

2. ``Si en dos triángulos hay sendos vértices tales que los lados que se cortan en ellos son correspondientemente congruentes y los ángulos cuyos vértices son esos puntos son también congruentes, entonces los ángulos en los otros vértices son correspondientemente congruentes'': Para especificar este axioma, introduzcamos primero el predicado ``la recta $x_1$ une a los puntos $x_2$ y $x_3$'':
   
   $$\mbox{\underline{\tt une}}(x_1,x_2,x_3) \equiv \mbox{\underli... ...por}}(x_1,x_2) \land \mbox{\underline{\tt pasa\_por}}(x_1,x_3),$$
   
   
   y luego el predicado ``en los triángulos $\triangle(x_1,x_2,x_3)$ y $\triangle(x_4,x_5,x_6)$, los ángulos con vértices $x_1$ y $x_4$ son congruentes'':
   $$\begin{eqnarray*} \phi(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) &\equiv& \forall x_7\, \forall ... ...tt ang\_congruente}}(x_7,x_8,x_9,x_{10})\rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   El axioma queda entonces:
   $$\begin{eqnarray*} \forall x_1\, \forall x_2\, \forall x_3\, \forall x_4\, \fora... ...\ \ \left.\phi(x_2,x_1,x_3,x_5,x_4,x_6) \rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

Una consecuencia inmediata de este axioma es, por ejemplo, el célebre

Teorema 1.1 (Pons asnorum (El puente de los asnos))   En todo triángulo isósceles, los ángulos en la base son congruentes entre sí.

Muchos teoremas clásicos de la llamada geometría euclidiana resultan de esta axiomatización, por ejemplo, la existencia de ángulos rectos, el que la suma de los ángulos internos de un triángulo equivale a dos rectos, o, inclusive más complejos como el teorema de Papo (Pappus) o el teorema de Desargues, fundamentales estos últimos en la geometría proyectiva. $\quad\Box$

Ejemplo 1.10 (Relaciones de parentesco)   En el lenguaje $L_{\mbox{\scriptsize\it Pco}}$, veremos que las relaciones comunes de parentesco son formalizables en un primer orden.

Explicación. Éste es efectivamente un ejemplo más bien frívolo, pero nuestra intención secundaria para introducirlo aquí es el uso de símbolos de funciones en los axiomas. El lenguaje $L_{\mbox{\scriptsize\it Pco}}$ se presentó en el ejemplo 3.1.5. Parentesco consanguíneo:

1. Comencemos con lo más obvio: ``Todo padre es un varón y toda madre es una mujer''
   
   $$\forall x\left(\mbox{\underline{\tt var\'on}}(\mbox{\underlin... ...\underline{\tt mujer}}(\mbox{\underline{\tt madre}}(x))\right).$$
   
   

2. ``Un progenitor de alguien es su padre o su madre.''
   
   $$\forall x\left(\mbox{\underline{\tt progenitor}}(\mbox{\under... ...ine{\tt progenitor}}(\mbox{\underline{\tt madre}}(x),x)\right).$$
   
   

3. ``Un hijo, resp. hija, de alguien es aquel varón, resp. mujer, que tiene a ese alguien como progenitor.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y\left( \mbox{\underline{\tt hijo}}(x,y) ... ... \mbox{\underline{\tt progenitor}}(y,x) \rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

4. ``Un hermano, resp. hermana, de alguien es aquel varón, resp. mujer, que tiene a los mismos progenitores que ese alguien.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y\left( \mbox{\underline{\tt hermano}}(x,... ...\underline{\tt progenitor}}(z,y)\right) \rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   Observe en este caso que los ``medios hermanos'' no son hermanos en el sentido aquí definido.
5. ``Un abuelo, resp. abuela, de alguien es aquel varón, resp. mujer, que es el padre, resp. madre, de un progenitor de ese alguien.''
   
   $$\forall x\, \forall y\left( \mbox{\underline{\tt progenitor}}... ...a}}(\mbox{\underline{\tt madre}}(y),x) \rule{0cm}{.4cm}\right).$$
   
   

6. ``Un bisabuelo, resp. bisabuela, de alguien es el padre, resp. madre, de un abuelo o de una abuela de ese alguien.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y && \left(\mbox{\underline{\tt abuelo}}(... ...line{\tt bisabuela}}(\mbox{\underline{\tt madre}}(y),x)\right). \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

7. ``Un tatarabuelo, resp. tatarabuela, de alguien es el padre, resp. madre, de un bisabuelo o de una bisabuela de ese alguien.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y && \left(\mbox{\underline{\tt bisabuelo... ...ne{\tt tatarabuela}}(\mbox{\underline{\tt madre}}(y),x)\right). \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

8. En general, ``un ancestro de alguien es bien uno de sus progenitores o un ancestro de alguno de sus progenitores.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y \hspace{1.2in} \left(\left(\mbox{\under... ...x{\underline{\tt ancestro}}(y,x)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

9. Una definición muy generalizada de parentesco consanguíneo es la siguiente: ``Dos personas son parientes si poseen un ancestro común.''
   
   $$\forall x\forall y\left(\mbox{\underline{\tt pariente}}(y,x)\... ...ncestro}}(z,y)\land\mbox{\underline{\tt ancestro}}(z,x)\right).$$
   
   

10. ``Un tío, resp. tía, es un hermano, resp. hermana, de uno de sus progenitores.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y \left(\left(\mbox{\underline{\tt t\'\i ... ...ox{\underline{\tt hermana}}(y,z)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    

11. ``Un sobrino, resp. sobrina, de alguien es aquel varón, resp. mujer, que tiene a ese alguien como tío o tía.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y\left( \left( \mbox{\underline{\tt sobri... ...erline{\tt t\'\i a}}(y,x)\right) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    

12. ``Un primo, resp. prima, de alguien es un sobrino, resp. sobrina, de algún progenitor de ese alguien.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x\, \forall y\left( \left( \mbox{\underline{\tt primo... ...erline{\tt sobrina}}(y,z)\right) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    

Parentesco político: Otro tipo de parentesco es el que se establece por el sacrosanto vínculo del matrimonio. Algunas de estas relaciones son las siguientes:

1. ``Toda persona está casada (digamos) con su cónyuge.''
   
   $$\forall x:\ \mbox{\underline{\tt casamiento}}(x,\mbox{\underline{\tt c\'onyuge}}(x))$$
   
   

2. ``Si una persona está casada con otra, esta otra está casada con aquella.''
   
   $$\forall x\forall y(\mbox{\underline{\tt casamiento}}(x,y)\ \rightarrow\ \mbox{\underline{\tt casamiento}}(y,x))$$
   
   

3. ``El cónyuge de una mujer es un varón y la cónyuge de un varón es una mujer.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\left( \left( \mbox{\underline{\tt mujer}}(x) \rule{... ...x{\underline{\tt c\'onyuge}}(x)) \rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

4. ``Un concubino es alguien que ha procreado con una sin estar casado con una.''
   
   $$\forall x\left(\neg\mbox{\underline{\tt casamiento}}(\mbox{\u... ...nderline{\tt madre}}(x),\mbox{\underline{\tt padre}}(x))\right)$$
   
   

5. ``Un hijo legítimo es alguien procreado en un matrimonio.''
   
   $$\forall x\left(\mbox{\underline{\tt casamiento}}(\mbox{\under... ...rightarrow\ \mbox{\underline{\tt hijo\_leg\'\i timo}}(x)\right)$$
   
   

6. ``Un hijo bastardo es alguien procreado fuera de un matrimonio.''
   
   $$\forall x\left(\neg\mbox{\underline{\tt casamiento}}(\mbox{\u... ...e}}(x))\ \rightarrow\ \mbox{\underline{\tt bastardo}}(x)\right)$$
   
   

7. ``El suegro, resp. la suegra, es el padre, resp. la madre, del cónyuge.''
   
   $$\forall x\left(\mbox{\underline{\tt suegro}}(\mbox{\underline... ...line{\tt madre}}(\mbox{\underline{\tt c\'onyuge}}(x)),x)\right)$$
   
   

8. ``Un cuñado, resp. cuñada, es un hermano, resp. hermana, del cónyuge, o bien el cónyuge de un hermano o hermana.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y && \left( \left( \mbox{\underline{\tt he... ...ox{\underline{\tt c\'onyuge}}(x))\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

9. ``Un yerno, resp. nuera, es el cónyuge de una hija, resp. de un hijo.''
   $$\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y && \left( \left( \mbox{\underline{\tt hi... ...{\underline{\tt c\'onyuge}}(y),x)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

10. ``Un consuegro, resp. consuegra, es el padre, resp. la madre, de un yerno o una nuera.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y && \left(\mbox{\underline{\tt nuera}}(y,... ...ra}}(\mbox{\underline{\tt madre}}(y),x)\rule{0cm}{.4cm}\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    

11. ``Concuños son los cónyuges de parejas de hermanos.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y && \left( \left( \mbox{\underline{\tt he... ...x{\underline{\tt c\'onyuge}}(x))\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    
    Aunque se tiene la relación de concuño, es curioso ver que en castellano no se tiene una relación entre hermanos de cónyuges.
12. ``Un padrastro, resp. madrastra, de alguien es el cónyuge de la madre, resp. padre, de ese alguien que no es progenitor suyo.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x && \left( \left( \neg \mbox{\underline{\tt progenit... ...ox{\underline{\tt padre}}(x)),x)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    

13. ``Un hijastro, resp. hijastra, de alguien es un varón, resp. mujer, de quien se es padrastro o madrastra.''
    $$\begin{eqnarray*} \forall x\,\forall y && \left( \mbox{\underline{\tt padrastro... ...x{\underline{\tt hijastra}}(x,y)\rule{0cm}{.4cm}\right)\right) \end{eqnarray*}$$
    
    
    
    
    

Bien que en este ejemplo hemos tratado de presentar exhaustivamente las nociones de parentesco, seguramente el lector podrá localizar algunas convencionales que aquí no se presentan, podrá discrepar con las definiciones aquí presentadas e, incluso, podrá figurarse algunas presentaciones alternativas como fórmulas de primer orden. Nos permitimoa aleccionar aquí al lector a experimentar con diferentes formalizaciones. $\quad\Box$
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