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Sucesión de Goodstein

Para $a\in N$ y $m\geq 2$ dados, definiremos a la SUCESIÓN DE GOODSTEIN $S(a,m)=\left\{s_n(a,m)\right\}_{n\geq 0}$ de manera recursiva. Para ello nos auxiliaremos de la sucesión $B(a,m)=\left\{b_n(a,m)\right\}_{n\geq 0}$ definida igualmente de manera recursiva. Explícitamente, hacemos

$$\begin{array}{rlcl} & b_0 = m &;& s_0 = a \vspace{2ex} \\ ... ...& s_{n+1} = \mbox{\it rp}(s_n,b_{n+1}\vert b_n) -1 \end{array}$$

Ejemplo 5.5   Para $m=2$ y $a=100$ tenemos $\mbox{\it rp}_2(100)=2^{2^2+2} + 2^{2^2+1} +2^2.$ Los primeros términos de la sucesión de Goodstein aparecen en la Tabla 3.9.

Table 3.9: Primeros términos de la sucesión de Goodstein en el ejemplo 3.5.5

Sorpresivamente tenemos que ... ¡la sucesión de Goodstein converge a cero!

Teorema 5.4 (de Goodstein)   $\forall a \forall m \exists n:\;s_n(a,m)=0.$

El teorema se cumple en ${\mathbb{N}}$: el modelo estándar de los números naturales, sin embargo no es demostrable en la aritmética de Peano, pues, en términos de $(a,m)$, el mínimo $n$ que anula a la sucesión de Goodstein crece vertiginosamente rápido.