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Problemas típicos de lógicas difusas

Hemos visto que a partir de un conjunto $X$ de variables proposicionales, habiendo seleccionado un conjunto ${\cal C}$ de conectivos de negación, de conjunción, de disyunción, de implicación o de equivalencia, y ateniéndonos siempre a reglas sintácticas precisas ${\cal R}$ que definan la buena formación de fórmulas, podemos considerar una colección ${\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ de formas proposicionales. El sistema ${\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ es una lógica proposicional difusa. Para cada $\phi(X_1,\ldots,X_n)\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$, si $\mbox{\bf x}=(x_1,\ldots,x_n)\in[0,1]^n$ entonces al sustituir cada variable $X_i$ por el valor de verdad $x_i$, $i\leq n$, la forma $\phi$ asumirá un valor de verdad $\phi(\mbox{\bf x})\in [0,1]$. La función $f_{\phi}:[0,1]^n \rightarrow [0,1]$, $\mbox{\bf x}\mapsto \phi(\mbox{\bf x})$, se dice ser la tabla de verdad de la forma proposicional $\phi(X_1,\ldots,X_n)$. Sea $a\in[0,1]$ y sea $\phi(X_1,\ldots,X_n)\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$. Diremos que $\phi(X_1,\ldots,X_n)$ es

• $a$-satisfactible si $\exists \mbox{\bf x}\in[0,1]^n:\ f_{\phi}(\mbox{\bf x})\geq a$,
• $a$-inconsistente si no es $a$-satisfactible, es decir, si $\forall \mbox{\bf x}\in[0,1]^n:\ f_{\phi}(\mbox{\bf x})< a$,
• $a$-tautología si $\forall \mbox{\bf x}\in[0,1]^n:\ f_{\phi}(\mbox{\bf x})\geq a$, y
• $a$-refutable si no es $a$-tautología, es decir, $\exists \mbox{\bf x}\in[0,1]^n:\ f_{\phi}(\mbox{\bf x})< a$.

Si $\Phi\subset {\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ y $\phi(X_1,\ldots,X_n)\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$, diremos que $\phi$ es una $a$-consecuencia lógica de $\Phi$, y escribiremos $\Phi\models_a\phi$, si

$$\forall \mbox{\bf x}\in[0,1]^n\ \left(\left( \forall \psi\in... ...q a\right)\ \Rightarrow\ f_{\phi}(\mbox{\bf x})\geq a\right).$$ (10)

Formularemos algunas observaciones evidentes y omitiremos sus demostraciones.

Observación 3.3   Sea $N:[0,1]\rightarrow[0,1]$ una función de negación y $\neg$ un conectivo de negación cuya semántica corresponde a $N$, es decir, para toda forma proposicional $\phi$, $v(\neg \phi)=N(v(\phi))$. Entonces, valen las siguientes dos equivalencias:

1. $\phi$ es $a$-satisfactible si y sólo si $\neg \phi$ es $a$-refutable.
2. $\phi$ es $a$-tautología si y sólo si $\neg \phi$ es $a$-inconsistente.

Diremos que un conectivo de implicación $\rightarrow$ satisface al Teorema de Deducción si se cumple la equivalencia

$$\Phi\cup\{\phi\} \models_a \psi \ \Leftrightarrow\ \Phi \models_a (\phi\rightarrow\psi).$$

Observación 3.4   Si $\diamond:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ es un operador conjuntor y la implicación $\rightarrow$ tiene como semántica al operador $(x,y)\mapsto \max\{z\in[0,1]\vert z\diamond x\leq y\}$, entonces esa implicación satisface al Teorema de Deducción.

Observación 3.5   Si $\diamond:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ es un operador conjuntor, $N:[0,1]\rightarrow[0,1]$ es una función de negación y la implicación $\rightarrow$ tiene como semántica al operador $(x,y)\mapsto N(x\diamond N(y))$, entonces esa implicación satisface al Teorema de Deducción.

Observación 3.6   Si la implicación $\rightarrow$ satisface al Teorema de Deducción, entonces

$$\phi,(\phi\rightarrow \psi) \models_a \psi\hspace{3cm} \mbox{\rm (Modus Ponens) }.$$

Planteemos algunos problemas típicos en las lógicas proposicionales difusas:

Problema 3.3 (Satisfactibilidad)   Dada una $\phi\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ y una $a\in[0,1]$ se ha de decidir si acaso $\phi$ es $a$-satisfactible.

Problema 3.4 (Tautologicidad)   Dada una $\phi\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ y una $a\in[0,1]$ se ha de decidir si acaso $\phi$ es una $a$-tautología.

Problema 3.5 (Consecuencias lógicas)   Dados $\Phi\subseteq {\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$, $\phi\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ y una $a\in[0,1]$ se ha de decidir si acaso $\Phi\models_a\phi$.

Problema 3.6 (Valoración hacia atrás)   Dados $\phi\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ y $a\in[0,1]$ se trata de caracterizar al conjunto de asignaciones que bajo $\phi$ dan un valor de verdad no menor que $a$:

$$f_{\phi}^{-1}([a,1])=\{\mbox{\bf x}\in[0,1]^n\vert f_{\phi}(\mbox{\bf x}) \geq a\}.$$

Problema 3.7 (Definibilidad)   Diremos que una función $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ es definible en una lógica proposicional difusa ${\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ si existe una forma proposicional $\phi\in{\cal S}(X, {\cal C}, {\cal R})$ tal que $f=f_{\phi}$. En este problema, dada una función $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ se ha de decidir si acaso $f$ es definible.

En diferentes lógicas los problemas anteriores serán resueltos con algoritmos de diversas complejidades. Por ejemplo, el problema de satisfactibilidad es un paradigma de los problemas intratables, aún cuando se le restrinja al Cálculo Proposicional usual. En cuanto al problema de definibilidad, recordamos que en el Cálculo Proposicional usual la clase de funciones definibles coincide con $\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ y el dominio $\{0,1\}^n$ forma un álgebra booleana. En otras lógicas proposicionales difusas, aunque no se tenga un álgebra booleana se puede tener una rica estructura algebraica, como la de los retículos regulares residuales.
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