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Semánticas basadas en implicación y negación

Hasta ahora hemos extendido los conectivos siguiendo principalmente dos enfoques: En uno consideramos una conjunción y una negación como básicos. En otro, consideramos una conjunción, en términos de ella definimos una implicación, y estos dos conectivos fueron considerados para ser los básicos. Para finalizar las posibles extensiones de asignaciones, supongamos dadas una implicación $\mbox{\it Imp}:[0,1]^2\rightarrow[0,1]$ y una negación $N:[0,1]\rightarrow[0,1]$ como conectivos básicos. Entonces podemos extender valores de verdad a los demás conectivos como sigue:

\begin{eqnarray*} v(\neg \phi) &=& N(v(\phi)) \\ v(\phi_1\land \phi_2) &=& ... ...=& v((\phi_1\rightarrow \phi_2)\land(\phi_2\rightarrow \phi_1)) \end{eqnarray*}



Veamos algunos ejemplos. En todos ellos supondremos que la negación es $N_1: x\mapsto 1-x$.
Producto-D.
Para la función $\mbox{\it Imp}:(x,y)\mapsto 1-x+x\cdot y$ obtenemos los mismos operadores que en el caso Producto-D definido anteriormente.
\Lukasiewicz-D.
Para la función $\mbox{\it Imp}:(x,y)\mapsto \min\{1,1-x+ y\}$ obtenemos los mismos operadores que en el caso \Lukasiewicz-D definido anteriormente.
Implicación por inclusión.
Consideremos $\mbox{\it Imp}:(x,y)\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{\rm si $x\leq y$\ } \\ 0 &\mbox{\rm en otro caso } \end{array}\right.$ Se tiene que los conectivos tendrán las funciones mostradas en el recuadro (4.14).

Table 4.14: Conectivos resultantes de la implicación por inclusión.
\begin{table} \begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{30em} \begin{eqnarray*} ... ...end{array}\right. %%\\ \end{eqnarray*} \end{minipage}}\end{center} \end{table}


Implicación de Brower o por falla.
Consideremos $\mbox{\it Imp}:(x,y)\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{\rm si $x\leq y$\ } \\ y &\mbox{\rm en otro caso } \end{array}\right.$ Se tiene que los conectivos tendrán las funciones mostradas en el recuadro (4.15).

Table 4.15: Conectivos resultantes de la implicación de Brower.
\begin{table} \begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{30em} \begin{eqnarray*} ... ...t=0 . \end{array}\right. \end{eqnarray*} \end{minipage}}\end{center} \end{table}


En este caso, ni la conjunción ni la disyunción son conmutativas.
Implicación de Zadeh.
Consideremos $\mbox{\it Imp}:(x,y)\mapsto \max\{1-x,\min\{x,y\}\}$ Se tiene que los conectivos tendrán las funciones mostradas en el recuadro (4.16).

Table 4.16: Conectivos resultantes de la implicación de Zadeh.
\begin{table} \begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{33em} \begin{eqnarray*} ... ...> 1]. \end{array}\right. \end{eqnarray*} \end{minipage}}\end{center} \end{table}


En este caso, ni la conjunción ni la disyunción son conmutativas.
Implicación de Bayes.
Consideremos $\mbox{\it Imp}:(x,y)\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{\rm si $x=0$\ } \\ \min\{1,\frac{y}{x}\} &\mbox{\rm en otro caso } \end{array}\right.$ Se tiene que los conectivos tendrán las funciones mostradas en el recuadro (4.17).

Table 4.17: Conectivos resultantes de la implicación de Bayes.
\begin{table} \begin{center}\fbox{\begin{minipage}[t]{30em} \begin{eqnarray*} ... ...i_2). \end{array}\right. \end{eqnarray*} \end{minipage}}\end{center} \end{table}


En este caso, ni la conjunción ni la disyunción son conmutativas.
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Guillermo Morales-Luna
2004-07-28