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Operadores binarios

Las operaciones conjuntistas usuales pueden ponerse en función de algunas otras operaciones distinguidas. Recordamos que una colección de operadores en conjuntos se dice ser completa si cualquier otro operador conjuntista se expresa en términos de los operadores en esa colección.

Observación 2.3   Se tiene:

1. $\{\overline{\;\cdot\;}, \cap\}$ es completo, donde $\overline{\;\cdot\;}$ denota a la operación complemento.
2. $\{\overline{\;\cdot\;},\cup\}$ es completo.
3. $\{\overline{\;\cdot\;}, \mbox{\it .imp.}\}$ es completo, donde $A\mbox{\it .imp.}B=\overline{A}\cup B$.
4. $\{\uparrow\}$ es completo, donde $A\uparrow B=\overline{A\cap B}$ es el complemento de la intersección.
5. $\{\downarrow\}$ es completo, donde $A\downarrow B=\overline{A\cup B}$ es el complemento de la unión.

En efecto, utilizando propiedades de álgebra booleana, de entre ellas a las leyes de De Morgan de manera principal,

1. en términos de $\{\overline{\;\cdot\;}, \cap\}$ se tiene
   $$\begin{eqnarray*} A\cup B &=& \overline{\overline{A}\cap\overline{B}} \\ A\mbox{\it .imp.}B &=& \overline{A \cap\overline{B}} %%\\ \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   

2. en términos de $\{\overline{\;\cdot\;},\cup\}$ se tiene $A\cap B = \overline{\overline{A}\cup\overline{B}}$ y, por el punto anterior, esto basta para tener lo aseverado,
3. en términos de $\{\overline{\;\cdot\;}, \mbox{\it .imp.}\}$ se tiene $A\cup B = \overline{A}\mbox{\it .imp.}B$ y, por el punto anterior, esto basta para tener lo aseverado,
4. en términos de $\{\uparrow\}$ se tiene
   $$\begin{eqnarray*} \overline{A} &=& A\uparrow A \\ A\cap B &=& (A\uparrow B)\uparrow (A\uparrow B) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   y como $\{\overline{\;\cdot\;}, \cap\}$ es completo se tiene lo aseverado,
5. en términos de $\{\downarrow\}$ se tiene
   $$\begin{eqnarray*} \overline{A} &=& A\downarrow A \\ A\cup B &=& (A\downarrow B)\downarrow (A\downarrow B) \end{eqnarray*}$$
   
   
   
   
   
   y como $\{\overline{\;\cdot\;},\cup\}$ es completo se tiene lo aseverado.

Basta pues definir un conjunto completo de operadores para describir luego a los otros operadores conjuntistas en términos de los ya definidos. Usaremos esto como estrategia para extender las operaciones conjuntistas a los conjuntos difusos: extenderemos las operaciones en un conjunto dado completo de conectivos y luego obtendremos las extensiones de los demás operadores en función de las extensiones que hagamos de los operadores que aparezcan en el conjunto completo. Procederemos ahora a introducir operadores que extiendan a los usuales de intersección y unión. Observemos que la intersección usual es asociativa, conmutativa, monótona en cada uno de sus factores, es decir,

$$(A_1\subseteq A_2) \& (B_1\subseteq B_2) \ \Rightarrow\ (A_1\cap B_1 \subseteq A_2\cap B_2 )$$

y además el universo $X$ es una unidad, en tanto que su complemento $\emptyset$ es un anulador, o sea

$$X\cap A=A\ \ \ ,\ \ \ \emptyset\cap A=\emptyset.$$

Generalicemos estas propiedades. Un operador $\diamond:[0,1]\rightarrow [0,1]$ es un conjuntor si se cumplen las propiedades siguientes:

$$\begin{array}{lccc} \forall x,y\in[0,1]: &\ &\ & x\diamond y... ...\forall x\in[0,1]: &1\diamond x=x &,& 0\diamond x=0 \end{array}$$

Un operador conjuntor determina un operador de intersección de conjuntos difusos. Si, por otro lado, $N:[0,1]\rightarrow[0,1]$ es una negación entonces, de acuerdo con el lema (4.2.3), ya que la intersección junto con el complemento forman un conjunto completo de conectivos, se puede definir a los demás en términos de ellos. Veamos algunos ejemplos.

Min-Max.

Sea $x\diamond y=\min\{x,y\}$ y $N(x)=N_1(x)=1-x$. Entonces $\diamond$ es, en efecto, un operador conjuntor y,

$$\begin{eqnarray*} (\neg_{\mbox{\scriptsize\it MM}}A)(x) &=& 1-A(x) \\ (A\cap_{... ...}_{\mbox{\scriptsize\it MM}}B)(x) &=& \max\{1-A(x),B(x)\} %%\\ \end{eqnarray*}$$

En la figura 4.13 presentamos las gráficas de estas funciones. Las que aparecen en el lado derecho, son del tipo llamado ``de densidad'', que son gráficas a vista de pájaro, donde los menores valores corresponden al color negro.

Figure 4.13: Operadores composicionales del tipo Max-Min.

Producto-D.

Sea $x\diamond y=xy$ y $N(x)=N_1(x)=1-x$. Entonces $\diamond$ es, en efecto, un operador conjuntor y,

$$\begin{eqnarray*} (\neg_{\mbox{\scriptsize\it PrD}}A)(x) &=& 1-A(x) \\ (A\cap_... ...mp.}_{\mbox{\scriptsize\it PrD}}B)(x) &=& 1-A(x)+A(x)B(x) %%\\ \end{eqnarray*}$$

En la figura 4.14 presentamos las gráficas de estas funciones.

Figure 4.14: Operadores composicionales del tipo Producto-D.

ukasiewicz-D.

Sea $x\diamond y=\max\{x+y-1,0\}$ y $N(x)=N_1(x)=1-x$. Entonces $\diamond$ es, en efecto, un operador conjuntor y,

$$\begin{eqnarray*} (\neg_{\mbox{\scriptsize\it\L D}}A)(x) &=& 1-A(x) \\ (A\ca... ...\mbox{\scriptsize\it\L D}}B)(x) &=& \min\{1-A(x)+B(x),1\} %%\\ \end{eqnarray*}$$

En la figura 4.15 presentamos las gráficas de estas funciones.

Figure: Operadores composicionales del tipo ukasiewicz-D.

En cada uno de los tres conjuntos de conectivos anteriores se define también uno de ``equivalencia lógica'':

$$(A\equiv B)(x) \;=\; [(A\mbox{\it .imp.}B)\cap (B\mbox{\it .imp.}A)](x).$$

Las gráficas de las funciones resultantes se muestran en la figura 4.16.

Figure 4.16: Operadores de equivalencia lógica.

Con cada clase de conectivos, los conjuntos difusos forman una estructura algebraica que, sin ser un álgebra booleana, posee varias de las propiedades características de estas últimas. Veremos más adelante que una estructura algebraica típica conformada por los conjuntos difusos es la de un ``retículo residual''.
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