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Productos cartesianos

Recordamos que para dos conjuntos usuales $A$, $B$ su producto cartesiano consta de todas las parejas ordenadas de la forma $(a,b)$ donde $a\in A$ y $b\in B$. Así pues, si $\diamond$ es un operador conjuntor y $A$ y $B$ son conjuntos difusos en sendos universos $X$ e $Y$, su producto cartesiano es el conjunto difuso

$$A\times B:X\times Y\rightarrow [0,1], (x,y)\mapsto A(x)\diamond B(y).$$

Una relación, en el sentido usual, entre dos conjuntos es un subconjunto de su producto cartesiano. Por tanto, se puede considerar a una relación difusa entre dos universos como un conjunto difuso en su producto cartesiano.


Ejemplo: Para $X=[0,1]$, el conjunto difuso en $X^2$, $\approx:(x,y)\mapsto \frac{1}{1+(x-y)^2}$ puede ser visto como la relación difusa ``aproximadamente igual''. Mostramos su gráfica en la figura 4.17.

Figure 4.17: (a) Gráfica de la relación ``aproximadamente igual''. (b) Gráfica de densidad de la relación ``aproximadamente igual''.

Si $R$ es una relación difusa en $X\times Y$, las respectivas proyecciones de $R$ en $X$ y en $Y$ son los conjuntos difusos

$$\begin{eqnarray*}\pi_X[R]:x &\mapsto& \max\{R(x,y)\vert y\in Y\}, \\ \pi_Y[R]:y &\mapsto& \max\{R(x,y)\vert x\in X\}. \end{eqnarray*}$$

Si $R$ es una relación difusa en $X\times Y$ y $S$ es una relación difusa en $Y\times Z$, la composición de $R$ con $S$ en $X\times Z$ es el conjunto difuso $S\circ R:(x,z)\mapsto \max\{R(x,y)\diamond S(y,z)\vert y\in Y\}$.


Ejemplo: Consideremos un conjunto de 10 chicos,

$$\mbox{\it Chicos}\ =\ \{\mbox{\rm\begin{minipage}[t]{30em} {... ... Felipe, Guillermo, H\'ector, Ignacio, Juan } \}\end{minipage}}$$

y otro de 10 chicas

$$\mbox{\it Chicas}\ =\ \{\mbox{\rm\begin{minipage}[t]{30em} {\... ...rginia, Wanda, X\'ochitl, Yolanda, Zenaida } \}\end{minipage}}$$

Una relación difusa, llamémosla Prefiere_A, del conjunto de Chicos sobre el conjunto de Chicas se muestra en el recuadro (4.6).

Table 4.6: Relación Prefiere_A de Chicos a Chicas.

En esa relación, un chico preferirá más a una chica si el correspondiente valor de esa pareja es más cercano a 1. Si es 0, el chico definitivamente no prefiere a la chica. Juan, por ejemplo, a ninguna prefiere más que a Rosa, a Ursula y a Wanda, pero a ellas tres las prefiere por igual (aunque él de hecho está manifestando cualquier preferencia con mucho ímpetu). Sofía es acaso de las menos preferidas, y Abel, Beto, Felipe e Ignacio para nada la prefieren. Pero, obviamente, ¡las chicas también tienen sus preferencias! Consideremos la relación Elige_A de Chicas en Chicos que se muestra en el recuadro (4.7).

Table 4.7: Relación Elige_A de Chicas a Chicos.

En las relaciones definidas, se tiene, por ejemplo, que Beto prefiere más a Xóchitl pero ella elige más a Abel, Ernesto, Felipe y Héctor. La composición $(\mbox{\it Elige\_A})\circ (\mbox{\it Prefiere\_A})$, llamémosla Siéntese_Rival_De (SRD), es una relación de Chicos en Chicos: Fulano Siéntese_Rival_De Zutano si la chica que más prefiere Fulano elige más a Zutano. Utilizando como conjuntor a la operación $\min$ se tiene la relación mostrada en el recuadro (4.8).

Table: Relación $\mbox{\it SRD}=(\mbox{\it Elige\_A})\circ (\mbox{\it Prefiere\_A})$ de Chicos a Chicos.

La terminología es desafortunada pues, por ejemplo, Chucho SRD de sí mismo (lo que es muy bueno). El prefiere más que a nadie a Wanda, pero ella no se muestra muy afecta a los chicos propuestos. En cambio, Chucho y Teresa se atraen recíprocamente con 0.8. Por otro lado, Juan quiere tanto a todas las chicas, menos a Virginia, que SRD de cualquier otro chico. Finalmente, la composición $(\mbox{\it Prefiere\_A})\circ (\mbox{\it Elige\_A})$, llamémosla Celosa_De (CD), es una relación de Chicas en Chicas. Se tiene la relación mostrada en el recuadro (4.9).

Table: Relación $\mbox{\it CD}=(\mbox{\it Prefiere\_A})\circ (\mbox{\it Elige\_A})$ de Chicas a Chicas.

Virginia está muy descontenta consigo misma, $\mbox{\it CD}(V,V)=\frac{1}{2}$, porque los tres chicos que elegiría más la prefieren a ella menos que a las demás. Sírvame como disculpa de la banalidad de este ejemplo, el mencionar que corresponde a un planteamiento típico de los problemas dichos de ``Matrimonios Estables'' (en inglés ``Stable Marriage Problems''), los cuales aparecen frecuentemente como problemas de planeación. Si se piensa que los chicos son ``clientes'' y las chicas ``servidores'' entonces se ha de buscar una asignación donde los clientes y los servidores creen entre ellos los mínimos conflictos posibles, si hubiese que crearlos. En algunas aplicaciones, los clientes y los servidores son ``clientes de una empresa'' y ``funcionarios de la empresa'', respectivamente, o bien ``clientes en colas'' y ``despachadores de las colas'', o bien ``tareas'' y ``procesadores'', o bien ``tesistas'' y ``directores de tesis'', o bien ``cursos'' y ``aulas'', o bien ``aspirantes a ingresar al bachillerato'' y ``escuelas de bachilleres disponibles'', etc. $\Box$


Si $R$ es una relación difusa en $X\times Y$, entonces todo conjunto difuso $B$ en $Y$ determina un conjunto difuso $A=B\circ R$ en $X$ como $A=B\circ R:x\mapsto \max\{R(x,y)\diamond B(y)\vert y\in Y\}$. $A$ se dice ser la composición de $R$ con $B$.
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