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Derivadas covariantes

Sea ${\cal T}^{(k,\ell)}$ la colección de $(k,\ell)$-tensores. La derivada covariante es una aplicación $\nabla:{\cal T}^{(k,\ell)}\to{\cal T}^{(k,\ell+1)}$ de manera que

sea aditiva

$\nabla(T+S) =\nabla T + \nabla S$, y

cumpla la regla de Leibniz

$\nabla(T\otimes S) = (\nabla T)\otimes S + T\otimes (\nabla S)$.

Por ejemplo, para $(k,\ell) = (0,1)$, los $(0,1)$-tensores son funcionales. Si ${\bf u} = \sum_{i=0}^{n-1} u_i\,\mbox{d}x_i$ entonces:

$$\nabla({\bf u}) = \sum_{i=0}^{n-1} \nabla(u_i\,\mbox{d}x_i) ... ...)\,\mbox{d}x_i + \sum_{i=0}^{n-1} u_i\ \nabla(\mbox{d}{x_i}).$$ (7.1)

Para cada $i\in[\![0,n-1]\!]$, $\nabla(\mbox{d}{x_i})$ es un ``bifuncional''. Expresémoslo como

$$\nabla(\mbox{d}{x_i}) = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} c_{i,jk}\,\mbox{d}x_j\otimes\mbox{d}x_k.$$ (7.2)

De hecho, de (7.2), para dos índices $j',k'\in[\![0,n-1]\!]$:

$$\begin{eqnarray*} \nabla(\mbox{d}{x_i})(x_{j'},x_{k'}) &=& \sum_{j=0}^{n-1} \sum... ...0}^{n-1} c_{i,jk}\,\delta_{jj'}\delta_{kk'} \\ &=& c_{i,j'k'}. \end{eqnarray*}$$

Así pues,

$$\forall i,j,k\in[\![0,n-1]\!]:\ \ c_{i,jk} = \nabla(\mbox{d}{x_i})(x_{j},x_{k}),$$ (7.3)

y éstos se llaman coeficientes de conexión o de Christoffel. (En muchos textos se les suele denotar como $c_{i,jk}=\Gamma^i_{jk}=\left\{\!\!\begin{array}{c}i\\ jk\end{array}\!\!\right\}$.) Al $(1,2)$-tensor cuyas componentes son los coeficientes de Christoffel se le llama de conexión. Al sustituir (7.2) en (7.1), se obtiene

$$\begin{eqnarray*} \nabla({\bf u}) &=& \sum_{i=0}^{n-1} \left(\nabla u_i\right)\... ..._{k=0}^{n-1} u_k c_{k,ij}\right]\,\mbox{d}x_i\otimes\mbox{d}x_j \end{eqnarray*}$$

(en la tercera igualdad hemos hecho varios renombramientos de índices). Por tanto, el $(0,2)$-tensor $\nabla({\bf u})$ tiene como arreglo de componentes a

$$C_{(0,1)} = \left[u_j + \sum_{k=0}^{n-1} u_k c_{k,ij}\right]_{0\leq i,j\leq n-1}.$$ (7.4)

Para cada $i\in[\![0,n-1]\!]$ definamos el $(0,1)$-tensor

$$\nabla_i({\bf u}) = \sum_{j=0}^{n-1} \left[\partial_{x_i}u_j + \sum_{k=0}^{n-1} u_k c_{k,ij}\right]\,\mbox{d}x_j.$$ (7.5)

De manera un poco más general, para $\ell\geq 1$ e ${\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{\ell}$ sea $\mbox{d}x_{\bf i} = \mbox{d}x_{i_0}\otimes\cdots\otimes \mbox{d}x_{i_{\ell-1}}$. Si se expresa

$$\nabla(\mbox{d}{x_{\bf i}}) = \sum_{{\bf j}\in[\![0,n-1]\!]^... ...f j},j_{\ell}}\,\mbox{d}x_{\bf j}\otimes\mbox{d}x_{j_{\ell}},$$ (7.6)

entonces para cualquier $T\in{\cal T}^{(0,\ell)}$ donde $T = \sum_{{\bf j}\in[\![0,n-1]\!]^{\ell}} u_{\bf j}\,\mbox{d}x_{\bf j}$, el arreglo de componentes de $\nabla T$ es

$$C_{(0,\ell)} = \left[u_{\bf j} + \sum_{{\bf k}\in[\![0,n-1]\... ...{\bf j},j_{\ell})\in[\![0,n-1]\!]^{\ell}\times[\![0,n-1]\!]}.$$ (7.7)

Para cada ${\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{\ell}$ definamos el $(0,1)$-tensor

$$\nabla_{\bf i}({\bf u}) = \sum_{j=0}^{n-1} \left[\partial_{{... ...]^{\ell}} u_{\bf k} c_{{\bf k},{\bf i}j}\right]\,\mbox{d}x_j.$$ (7.8)

Supongamos ahora que $J_p=\left[\partial_{y_i}x_j(p)\right]_{0\leq i,j\leq n-1}$ es la matriz jacobiana de un cambio de coordenadas a $\psi=(y_0,\ldots,y_{n-1})$. Consideremos, para aligerar la notación, $\ell=1$. De manera similar a (6.4), $\nabla({\bf u}) = (\mbox{d}\phi)^TC_{(0,1)}\mbox{d}\phi$, y como en (6.5), $\nabla({\bf u}) = (\mbox{d}\psi)^T(J_p^{-1})^TC_{(0,1)}J_p^{-1}\mbox{d}\psi$. Por tanto, necesariamente

$$C_{(0,1)}' = (J_p^{-1})^TC_{(0,1)}J_p^{-1},$$ (7.9)

donde $C_{(0,1)}'$ es el arreglo de componentes de $\nabla({\bf u})$ respecto al sistema de coordenadas $\psi$, lo cual concuerda también con la relación de cambio de variables (3.3). De manera equivalente, (7.9) se escribe,

$$\forall i',j'\in[\![0,n-1]\!]:\ \ u'_{j'} + \sum_{k'=0}^{n-1}... ..._j + \sum_{k=0}^{n-1} u_k c_{k,ij}\right)\partial_{x_j}(y_{j'})$$

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