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Ejemplo: La esfera $S^2$

En $\mathbb{R}^3$ consideremos la esfera $S^2_a$ de radio $a\in\mathbb{R}^+$,

\begin{displaymath}S^2_a=\{{\bf x}\in\mathbb{R}^3\vert\ x_0^2+x_1^2+x_2^2 = a^2\}.\end{displaymath}

Una parametrización de la esfera está dada por las coordenadas esféricas en términos de los ángulos cenital y azimutal

\begin{displaymath}x_0 = a \,\mbox{\rm sen}\,\theta_0\cos \theta_1\ \ ,\ \ x_1 =...
...heta_0\,\mbox{\rm sen}\,\theta_1\ \ ,\ \ x_2 = a \cos \theta_0.\end{displaymath}

$S^2_a$ es pues una $C^{\infty}$-variedad de dimensión $n=2$. El elemento de superficie, o métrica, satisface:

\begin{displaymath}(ds)^2=a^2((\mbox{d}\theta_0)^2 + \,\mbox{\rm sen}\,^2\theta_...
...rray}{c}
\mbox{d}\theta_0\\ \mbox{d}\theta_1
\end{array}\right]\end{displaymath}

Atendiendo a las relaciones (7.3) se tiene, por ejemplo, $c_{110} = -\,\mbox{\rm sen}\,\theta_0\cos\theta_0$ y $c_{011} = c_{101} = \cot\theta_0$. Por tanto, de la relación (10.2) se ha de tener

\begin{eqnarray*}
r_{0,101} &=& \nabla_0c_{110} - \nabla_{1}c_{010} + \sum_{j_1=...
...s\theta_0\ \cot\theta_0)] \\
&=& \,\mbox{\rm sen}\,^2\theta_0.
\end{eqnarray*}

Entonces, de (10.5), $\overline{\overline{r}}_{0101} = g_{00}r_{0101} + g_{01}r_{1101} = a^2\,\mbox{\rm sen}\,^2\theta_0.$ De hecho todas las componentes del tensor de Riemann o bien se anulan, o bien coinciden con $r_{0101}$ (salvo un signo). El tensor de Ricci, tiene componentes, de acuerdo con (10.8),

\begin{displaymath}S = \left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & \,\mbox{\rm sen}\,^2\theta_0 \\
\end{array}\right].\end{displaymath}

Por tanto, el escalar de Ricci es $s= \sum_{j=0}^{1} \sum_{\ell=0}^{1}\overline{g}_{j\ell}s_{j\ell} = \frac{2}{a^2}$, y es positivo y constante en la esfera. Esto da cuenta, precisamente, de la regularidad de la esfera. $\Box$



Guillermo M. Luna
2011-01-03