Períodos de la función

Observando el comportamiento de la función en las gráficas anteriores y centrandonos en la que muestra el contorno de fase, interpretamos las trayectorias como una conexión entre puntos aislados (ceros o polos^3.1) de la función en la región de estudio.

Se espera que para puntos en vecindades entorno a $\omega\in\Omega$ el módulo de la función tenga una tendencia al infinito, esto es, que

$$\vert F\vert \rightarrow \infty \hspace{.2in} \mbox{cuando} \hspace{.2in} z\rightarrow\omega\in\Omega$$

También podemos deducir que los puntos $.5+ .5i, \; .5 - .5i$ y en general aquellos de la forma $\pm.5\pm.5i + \omega$, $\omega\in\Omega$, son raíces de la función.

Note la densidad en las trayectorias horizontales que unen a los polos y en las verticales que unen las raíces; esta densidad indica que la función toma valores reales positivos.

La figura 3.5 muestra una ampliación de la celda primitiva de $\Omega$.

Como es mencionado en el capítulo anterior, es conveniente definir ^3.2 la red de periodos de tal forma que no existan polos sobre los lados del paralelogramo-periódico. Así que nuestra red de periodos será:

$$\Omega' = \omega + \Omega \hspace{1in} \mbox{donde}\quad\omega = 0.5 + i0.5$$

Observemos que nuestra red de periódos $\Omega'$ es una clase residuo $\mbox{mod}\;\Omega$, con esto sólo aplicamos un desplazamiento al conjunto de puntos en $\Omega$, y la distancia sigue siendo de módulo 1 en los generadores. Para que esto sea claro observese la figura 3.2 en donde, nos parece, se aprecian bien los periodos de la función.

Es importante subrayar que nuestro paralelogramo periódico sólo será cerrado en su lado inferior, lado izquierdo, y en el vértice que une éstos lados.

  

Figure 3.4: Paralelogramo periódico

  

Figure 3.5: Cero de la función.