Orden de los polos

El orden de los polos en nuestra función es 2, para apreciarlo de manera gráfica hemos obtenido la superfice y los contornos de nivel de valor absoluto; y los contornos de fase de la función 3.3 (ver fig. 3.6, 3.7 y 3.8 respectivamente) correspondiente a $(z-a)^2 {\cal F} (z)$, esto es, gráficamos:

$$(z-a)^2 \sum_{j= -\infty}^{\infty} \sum_{k= -\infty}^{\infty} \frac{1}{(z - j - ik)^2}$$ (3.3)

en valor absoluto, donde a es un polo de la función y es de la forma a=j+ik, con lo que estamos anulando un polo en a de la función ${\cal F}$. La superficie es mostrada con un corte para apreciar como es anulado el polo en a=1+i.

  

Figure 3.6: $\;\;(z-a)^2 \sum_{j= -\infty}^{\infty} \sum_{k= -\infty}^{\infty} \frac{1}{(z - j - ik)^2}$. Factorización del polo en a=1+i.

  

Figure 3.7: $\;\;(z-a)^2 \sum_{j= -\infty}^{\infty} \sum_{k= -\infty}^{\infty} \frac{1}{(z - j - ik)^2}$. Factorización del polo en a=1+i.

  

Figure 3.8: $\;\;(z-a)^2 \sum_{j= -\infty}^{\infty} \sum_{k= -\infty}^{\infty} \frac{1}{(z - j - ik)^2}$. Factorización del polo en a=1+i.

También se muestran las gráficas donde hemos factorizado únicamente un orden de un polo en el mismo punto: a=1+i (ver figuras 3.9 y 3.10).

  

Figure 3.9: $\;\;(z-a) \sum_{j= -\infty}^{\infty} \sum_{k= -\infty}^{\infty} \frac{1}{(z - j - ik)^2}$. Factorización de un orden del polo en a=1+i.

  

Figure 3.10: $\;\;(z-a) \sum_{j= -\infty}^{\infty} \sum_{k= -\infty}^{\infty} \frac{1}{(z - j - ik)^2}$. Factorización de un orden del polo en a=1+i.

Y como ya hemos determinado los periodos de la función, sabemos que sólo encontramos un polo por cada paralelogramo-periódico, y siendo éste de orden 2, obtenemos que el residuo de el polo en a es cero (ver sección 2.1).

Y analíticamente se obtiene

$$\lim_{z\rightarrow a} \frac{d}{dz} \{ (z-a)^2 {\cal F} (z) \}... ...tarrow a} \{2(z-a) {\cal F} (z) + (z-a)^2 {\cal F} '(z) \} = 0$$