Convergencia de la función

Sabemos que para que una serie sea convergente es condición necesaria y suficiente que

$$\lim_{n\rightarrow\infty} ( U_{n+p} - U_n ) = 0$$

para todo entero p>0 (ver referencia [7, pags. 222-223]).

Definiremos U_n en términos de nuestra serie:

$$U_n = \sum_{\Omega_n} \frac{1}{(z-\omega)^2}$$

donde $\Omega_n$ representa la suma de los n primeros paralelogramos concéntricos a partir del origen. Así realizando las computaciones pertinentes, tenemos que, si |z| < 1 :

   

$$\lim_{n\rightarrow\infty} (\vert U_{n+p}\vert - \vert U_n\vert)$$ 0 <

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \lim_{n\rightarrow\infty} (\vert U_{n+p} - U_n\vert)$$ <

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert\sum_{\Omega_{n+p}} \frac{1}{(z-\omega)^2} -\sum_{\Omega_n} \frac{1}{(z-\omega)^2} \right\vert$$ =

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert \sum_{\Omega_{n+1\ldots n+p}} \frac{1}{(z-\omega)^2} \right\vert$$ =

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \leq \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{\Omega_{n+1\ldots n+p}} \left\vert \frac{1}{(z-\omega)^2} \right\vert$$ (3.4)

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \lim_{n\rightarrow\infty} \sum_{r=n+1}^{n+p} \frac{8(r)}{(r-1)^2}$$ < (3.5)

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{8p(n+p)}{n^2}$$ < (3.6)

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm} \lim_{n\rightarrow\infty} (\frac{8p}{n} + \frac{p}{n^2} )$$ =

$$\Longrightarrow\rule{.4in}{0mm}$$ = 0

entonces

$$\lim_{n\rightarrow\infty} (\vert U_{n+p}\vert - \vert U_n\vert) = 0$$

entonces

$$U = \sum_{\Omega} \frac{1}{(z-\omega)^2}$$

converge.

En la desigualdad de 3.4 a 3.5 la cota se da en términos de (r-1)^-2 para establecer las cotas máximas en cada uno de los paralelogramos concéntricos. Y para obtener la siguiente desigualdad (eq. 3.6) se utilizó la menor de las cotas mayores, que es la que corresponde al último paralelogramo (n+p).