Si
es analítica en un círculo C , excepto en el
centro a del círculo,
es analítica en el anillo entre
C y cualquier círculo ,
de centro a , tan pequeño como
queramos. Por consiguiente,
admite un desarrollo de Laurent
La función 1.3 presenta una estructura muy adecuada, en el
sentido en que se distinguen 2 partes en la serie, la parte principal (o
infinita) y la parte finita, estas se muestran en las expresiones
1.4 y 1.5
respectivamente:
Si este desarrollo de Laurent contiene únicamente potencias no negativas de z-a, esto es, sólo está presente la parte finita, para todo z, excepto quizás para z=a, entonces asignando a el valor a0 en z=a aseguramos que la ecuación anterior es válida en todo C, luego es analítica en todo C, incluyendo el punto a.
Si el desarrollo de Laurent contiene potencias negativas de z-a, entonces se dice que tiene una singularidad aislada en a. Es decir, el punto a donde la función deja de ser analítica es llamado un punto singular o crítico. Por ejemplo z=0 es una singularidad de .
El que se nombre un punto singular aislado significa que puede dibujarse
un círculo teniendo como centro el punto de singularidad a0, de tal
forma que no encierre a otro punto de singularidad (a1 por ejemplo) de la
misma función.
Los puntos de singularidad aislada se consideran de dos tipos: