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Singularidades

Si $ {\cal F} (z)$ es analítica en un círculo C , excepto en el centro a del círculo, $ {\cal F} (z)$ es analítica en el anillo entre C y cualquier círculo $\gamma $, de centro a , tan pequeño como queramos. Por consiguiente, $ {\cal F} (z)$ admite un desarrollo de Laurent

 \begin{displaymath}{\cal F} (z) =\cdots\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{(z-a)} +
c_0 + c_1(z-a) +c_2(z-a)^2 + \cdots
\end{displaymath} (1.3)

válido en todo C excepto en el mismo a.

La función 1.3 presenta una estructura muy adecuada, en el sentido en que se distinguen 2 partes en la serie, la parte principal (o infinita) y la parte finita, estas se muestran en las expresiones 1.4 y 1.5 respectivamente:

 \begin{displaymath}\cdots\frac{c_{-n}}{(z-a)^n}+\cdots +\frac{c_{-1}}{(z-a)}
\end{displaymath} (1.4)


 \begin{displaymath}c_0 + c_1(z-a) +c_2(z-a)^2 + \cdots
\end{displaymath} (1.5)

Si este desarrollo de Laurent contiene únicamente potencias no negativas de z-a, esto es, sólo está presente la parte finita, para todo z, excepto quizás para z=a, entonces asignando a $ {\cal F} (z)$ el valor a0 en z=a aseguramos que la ecuación anterior es válida en todo C, luego $ {\cal F} (z)$ es analítica en todo C, incluyendo el punto a.

Si el desarrollo de Laurent contiene potencias negativas de z-a, entonces se dice que $ {\cal F} (z)$ tiene una singularidad aislada en a. Es decir, el punto a donde la función deja de ser analítica es llamado un punto singular o crítico. Por ejemplo z=0 es una singularidad de $\frac{1}{z}$.

El que se nombre un punto singular aislado significa que puede dibujarse un círculo teniendo como centro el punto de singularidad a0, de tal forma que no encierre a otro punto de singularidad (a1 por ejemplo) de la misma función.

Los puntos de singularidad aislada se consideran de dos tipos:

1.
Puntos de singularidad esencial. Estos puntos se caracterizan porque en su parte principal el número de coeficientes ci distintos de cero es infinito.

2.
Polos. Estos puntos tienen un número finito de coeficientes ci distintos de cero en su parte principal. Y para determinar el orden del polo tenemos que si la serie de potencias negativas termina en el término

c-p(z-a)-p

la singularidad se llama polo de orden p.



 
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Microcomputadoras
2001-03-09