Extremos confinados

Para este caso todas las matrices de Transferencia son de la forma

$$T \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda - a_{0}}{a_{1}} & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ (III.4)

donde

$$a_{0} = \frac{-2k}{m}$$

$$a_{1} = \frac{k}{m}$$ (III.5)

Como ya se ha mencionado antes, con una Cadena homogénea, el producto de matrices de Transferencia resulta ser la matriz elevada a una potencia igual a la longitud de la misma, explícitamente la Ec. (II.17) se convierte en

$$Z_{N} = T^{N} Z_{0}$$ (III.6)

Calculemos los Eigenvalores y Eigenvectores de $T$ para poder evaluar cualquier potencia de ella, pero antes denotemos

$$c = \frac{\lambda - a_{0}}{a_{1}}$$ (III.7)

entonces la Ec. característica de $T$ es

$$\left[ \begin{array}{ccc} c - \mu & -1 \\ 1 & -\mu \end{array} \right] = 0$$ (III.8)

explícitamente

$$\mu^{2} - c \mu + 1 = 0$$

$$\mu = \frac{c}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{c}{2}\right)^{2} -1}$$

a la relación de arriba es lo que se conoce como Relación de Dispersión; si se hace la sustitución

$$\frac{c}{2} = \mbox{cosh} \: \varphi$$ (III.9)

se obtiene

$$\mu = \mbox{cosh} \: \varphi \pm \sqrt{\mbox{cosh}^2 \: \varphi -1}$$

pero como

$$\mbox{cosh}^2 \: \varphi - 1 = \mbox{senh}^2 \: \varphi$$

entonces

$$\mu = \mbox{cosh} \: \varphi \pm \ \mbox{senh} \: \varphi$$

finalmente

$$\mu_\pm = e^{\pm \varphi}$$ (III.10)

ahora bien, los elementos de la Matriz de Transferencia son reales, por lo que podemos hacer las siguientes conclusiones, de las Ecs. (III.7) y (III.9):

i)

Si $\frac{\lambda - a_{0}}{2 \ a_{1}} \geq 1$ entonces $\varphi$ es real, y dependiendo en el signo, corresponde a una propagación de las ondas en forma exponencial creciente o decreciente para $\varphi > 0$ ó $\varphi < 0$ respectivamente.

ii)

Si $-1 \leq \frac{\lambda - a_{0}}{2 a_{1}} < 1$ entonces $\varphi = i \beta$, que corresponde a una propagación oscilatoria.

iii)

Finalmente si $\frac{\lambda - a_{0}}{2a_{1}} < -1$ implica que $\varphi = \alpha + i \pi$ y se trata de un tipo de oscilación creciente o decreciente, dependiendo en el signo de $\varphi$, ya que en este caso las partículas vecinas alternan en el signo de sus desplazamientos.

Es claro de la Ec. (III.10) que en cada caso ocurren los dos posibles, y así como ejemplo en el segundo, la combinación da lugar a la propagación de una Onda viajera. Después del análisis anterior, calculamos los Eigenvectores correspondientes

$$\left [ \begin{array}{ccc} c & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \... ..._\pm \left[ \begin{array}{ccc} 1 \\ u \end{array} \right]$$

de la segunda relación

$$1 = \mu_\pm \ u$$

por lo tanto

$$u_\pm = \frac{1}{\mu_\pm}$$

explícitamente

$$u_\pm = e^{\mp \varphi}$$ (III.11)

Para los Eigenvectores izquierdos se tiene

$$\left [ \begin{array}{ccc} v & 1 \end{array} \right] \l... ... \mu_\pm \left[ \begin{array}{ccc} v & 1 \end{array} \right]$$

utilizando la segunda ecuación

$$-v = \mu_\pm$$

de donde

$$v = -\mu_\pm$$

finalmente

$$v_\pm = -e^{\pm \: \varphi}$$ (III.12)

Para hacer uso del Teorema Espectral, calculemos los Operadores de Proyección correspondientes, haciendo uso de la notación de Dirac

$$P_\pm = \frac{\arrowvert u_\pm >< v_\pm \arrowvert}{< v_\pm \arrowvert u_\pm >}$$

ahora bien

$$\begin{eqnarray*} \arrowvert u_\pm >< v_\pm \arrowvert &=& \left [ \begin{arra... ...ccc} v_\pm & 1 \\ v_\pm \ u_\pm & u_\pm \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

y

$$\begin{eqnarray*} < v_\pm \arrowvert u_\pm > &=& \left [ \begin{array}{ccc} v... ... 1 \\ u_\pm \end{array} \right] \\ & = & v_\pm + \ u_\pm \end{eqnarray*}$$

haciendo uso de las Ecs. (III.11) y (III.12), se tiene

$$P _{+} = \frac{ \left[ \begin{array}{ccc} -e^{\varphi} & ... ...{-\varphi} \end{array} \right]}{-e^{\varphi} + e^{-\varphi}}$$

o también

$$P _{+} = \frac{ \left[ \begin{array}{ccc} e^{\varphi} & ... ... -e^{-\varphi} \end{array} \right]}{2 \mbox{senh} \ \varphi}$$ (III.13)

y

$$P _{-} = \frac{ \left[ \begin{array}{ccc} -e^{-\varphi} &... ...^{\varphi} \end{array} \right]}{-e^{-\varphi} + e^{\varphi}}$$

$$P _{-} = \frac{ \left[ \begin{array}{ccc} -e^{-\varphi} &... ... & e^{\varphi} \end{array} \right]}{2 \mbox{senh} \ \varphi}$$ (III.14)

con lo anterior podemos escribir

$$T = \frac{e^{\varphi}}{2 \mbox{senh} \varphi} \left[ \begi... ... -e^{-\varphi} & 1 \\ -1 & e^{\varphi} \end{array} \right]$$ (III.15)

Aplicando el Teorema de Sylvester

$$T^{N} = \frac{e^{N \varphi}}{2 \mbox{senh} \varphi} \left[ ... ... -e^{-\varphi} & 1 \\ -1 & e^{\varphi} \end{array} \right]$$

$$= \frac{1}{2 \mbox{senh} \varphi} \left[ \begin{array}{ccc... ...^{(N - 1)\varphi} -e^{-(N - 1)\varphi}) \end{array} \right]$$

finalmente

$$T^{N} = \frac{1}{\mbox{senh } \varphi} \left[ \begin{array... ... \varphi & - \mbox{senh} ( N - 1)\varphi \end{array} \right]$$ (III.16)

Entonces de las Ecs. (II.25) y (III.16), se tiene la siguiente Ec. que nos determina las frecuencias posibles de vibración

$$\frac{\mbox{senh}(N + 1) \varphi}{\mbox{senh} \: \varphi }= 0$$ (III.17)

como

$$\mbox{senh}\varphi \neq \infty$$

se tiene que

$$\mbox{senh} (N + 1) \varphi = 0$$

la Ec. anterior se cumple para los siguientes valores

$$(N + 1) \varphi = \ell \pi \ i \ \ \ \ \ \ \ell = 0, \pm 1, \pm 2, ..., \pm (N + 1)$$

de donde

$$\varphi = \frac{\ell \pi \ i}{N + 1}$$ (III.18)

nos interesa el cosh $\varphi$, que podemos calcularlo de la Ec. de arriba y que es

$$\begin{eqnarray*} \mbox{cosh} \varphi & = & \mbox{cosh} \frac{\ell \pi \ i}{N + 1} \\ & = & \mbox{cos} \frac{\ell \ \pi}{N + 1} \end{eqnarray*}$$

pero de las Ecs (III.9) y (III.7) se puede escribir

$$\frac{\lambda - a_{0}}{2 a_{1}} = \mbox{cos}\frac{\ell \ \pi}{N + 1}$$

finalmente se obtienen las frecuencias de resonancia que están dadas por la siguiente relación

$$\lambda = a_{0} + 2 a_{1} \mbox{cos}\frac{\ell \ \pi}{N + 1}$$ (III.19)

los valores de $\lambda$ dados por la Ec. de arriba son los únicos posibles. A primera vista se obtienen más de $N$ frecuencias distintas; pero en principio el $cos$ es una función par, por lo tanto los argumentos negativos proporcionan un valor idéntico al de los positivos; restan los valores de $\ell = 0$ y $\ell = N + 1$, pero de la Ec (III.18) se tiene que $\varphi = 0$ y $\varphi = \pi \ i$ respectivamente, que se tienen que eliminar porque de lo contrario, desde el punto de vista físico nos dicen que todas las partículas tienen el mismo desplazamiento, lo cual es falso porque estamos tratando con una red lineal con extremos fijos, entonces $\ell$ en la Ec. (III.19) sólo puede tomar los valores $1, 2, ...,N$. Para obtener las componentes de los Modos Normales de Vibración, hacemos uso de la Ec.

$$\left [ \begin{array}{c} y_{j + 1} \\ y_{j} \end{array... ...\left[ \begin{array}{cccc} y_{1} \\ 0 \end{array} \right]$$

ya que sabemos como obtener $T^{j}$ y que es

$$T^{j} = \frac{1}{\mbox{senh} \varphi} \left[ \begin{array}... ...\ \varphi & - \mbox{senh} (j - 1)\varphi \end{array} \right]$$

de donde

$$y_{j} = \frac{\mbox{senh} \ j \ \varphi}{\mbox{senh} \ \varphi} \: \ y_{1}$$

haciendo uso de la Ec. (III.18), se tiene

$$y_{j} = \frac{\mbox{senh} (j \ell \ \pi \ i / N + 1)} {\mbox{senh} (\ell \ \pi \ i / N + 1)} \:y_{1}$$

o también

$$y_{j} = \frac{\mbox{sen}\: j \ell \: \pi \ / N + 1}{\mbox{sen }\ell \: \pi \: / N + 1} \:y_{1}$$

si hacemos

$$y_{1} = \mbox{sen} (\ell \: \pi / N + 1)$$

que siempre es posible, se obtiene finalmente

$$y_{j} = \mbox{sen} (\ j \ \ell \ \pi / N + 1)$$ (III.20)

que es la componente $j$ del Eigenvector $\ell$