Extremos libres

En este caso las únicas Matrices de Transferencia distintas, son las correspondientes a las partículas $1$ y $N$, pero tienen una forma sencilla, que es la siguiente

$$T_{1} = T_{N} = \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\lambda - a}{a_1} & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$ (III.21)

donde

$$a = -\frac{k}{m}$$

y $a_1$ es la misma de antes. Esta vez la Ec. (II.17) es

$$Z_N = T_N \ T^{N - 2} \ T_1 \ Z_0$$ (III.22)

pero es posible transformarla en

$$\begin{array}{ccl} Z_{N} & = & T_{n} \: T^{-1} \: T \: T^{... ...T^{-1} \: T_{1} \: Z_{0} \end{array} \eqno{(\mbox{III.22}')}$$

como antes

$$T = \left [ \begin{array}{cc} \frac{\lambda - a_{0}}{a_{1}} & -1 \\ \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$

$T^{-1}$ es la matríz inversa de $T$, que tiene la forma siguiente

$$\left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \\ -1 & \frac{\lambda - a_{0}}{a_{1}} \end{array} \right]$$

y $T^{N}$ es la misma de la Ec. (III.16). Calculemos los productos que nos interesan y que en principio son $T^{-1} T_{1}$ y $T_{N} T^{-1}$

$$\begin{eqnarray*} T^{-1} T_{1} & = & \left [ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \\ ... ...& 0 \\ \\ \frac{a - a_{0}}{a_{1}} & 1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

y

$$\begin{eqnarray*} T_{N} T^{-1} & = & \left [ \begin{array}{cc} \frac{\lambda -... ... -\frac{a - a_{0}}{a_{1}} \\ \\ 0 & 1 \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

efectuemos ahora el producto $T^{N} T^{-1} T_{1}$

$$\begin{eqnarray*} T^{N} T^{-1} T_{1} & = & \frac{1}{\mbox{senh} \varphi} \left ... ... - 1)\varphi & -\mbox{senh}(N - 1)\varphi \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

finalmente la matriz anterior por $T_{N} T^{-1}$

$$\begin{eqnarray*} \tau & = & \left [\begin{array}{cc} 1 & - \frac{a - a_{0}}{a... ... 1) \varphi & -\mbox{senh} (N - 1)\varphi \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

en este caso la Ec. que nos determina las frecuencias es

$$\frac{\mbox{senh}(N + 1)\varphi - \frac{2(a - a_{0})}{a_{1}... ...2}_{1}}\mbox{senh} (N - 1) \varphi}{\mbox{senh} \varphi} = 0$$

nuevamente como senh $\varphi \neq \infty$, se tiene entonces que

$$\mbox{senh} (N + 1)\varphi - \frac{2(a - a_{0})}{a_{1}} \m... ...{(a - a_{0})^{2}}{a^{2}_{1}} \mbox{senh} (N - 1) \varphi = 0$$ (III.23)

las soluciones de la Ec. de arriba no son muy obvias, hay necesidad de utilizar métodos numéricos para obtenerlas, en este trabajo no resolvemos directamente las Ecs. sino que diagonalizamos la Matriz de Movimiento para obtener el cuadrado de las frecuencias naturales del sistema, más adelante se mostrarán los resultados, que se obtienen para modelos de cadenas unidimensionales más complicados que el anterior.