Un extremo libre y el otro confinado

i) Partícula $1$ libre.- Para este caso la única Matriz de Transferencia distinta, es la perteneciente a dicha partícula y tiene la forma de (III.21), así la matriz $\tau$ tiene la expresión

$$\tau = T^{N} T^{-1} T_{1}$$ (III.24)

en el caso anterior la hemos obtenido explícitamente y es

$$\tau = \frac{1}{\mbox{senh} \varphi} \left[ \begin{array}{c... ...hi & \qquad -\mbox{senh} (N - 1) \varphi \end{array} \right]$$

por lo que ahora la Ec. para obtener los Eigenvalores es

$$\mbox{senh} (N + 1) \varphi - \frac{(a - a_{0})}{a_{1}} \ \mbox{senh} N \varphi = 0$$ (III.25)

lo mismo que dijimos para las soluciones de (III.23), se aplica para (III.24) y claramente para el siguiente caso, en el que la partícula $N$ será la libre.

ii) Partícula $N$ libre.- Ahora $\tau$ tiene la estructura

$$\tau = T_{N} T^{-1} T^{N}$$ (III.26)

ya conocemos la expresión del producto $T_{N} T^{-1}$ sólo resta multiplicarlo por $T^{N}$, con lo que se obtiene lo siguiente

$$\begin{eqnarray*} \tau & = & \left[ \begin{array}{ccc} 1 & \frac{-(a - a_{0})}... ...\ N \varphi & -\mbox{senh} (N - 1) \varphi \end{array} \right] \end{eqnarray*}$$

la Ec. deseada es

$$\mbox{senh} (N + 1) \varphi - \frac{(a - a_{0})}{a_{1}} \ \mbox{senh} N \varphi = 0$$ (III.27)

que es idéntica a (III.25), que es un resultado que ya se esperaba.