Cadena diatómica

Ahora finalizaremos el modelo más simple de un cristal en cuya estructura intervienen 2 clases de átomos, esta vez nuestro modelo consiste de una red unidimensional en la cual, el valor de la masa de cada una de las partículas alterna, en la figura siguiente se muestra el modelo de cadena que consideraremos

Como siempre, si consideraremos una red diatómica con extremos fijos, la Matriz de Movimiento en su forma simétrica es

$$\left[ \begin{array}{cccc} \frac{-2k}{M} & \frac{k}{\sqrt{... ...{Mm}} \\ & & \\ 0 & \ddots & \ddots \end{array} \right]$$ (III.37)

se observa que todos los elementos de las diagonales superior e inferior de la principal son iguales y en la diagonal principal alternan los valores. Para las relaciones de recurrencia tenemos que hacer la distinción entre partículas pares e impares, así se tiene

$$\begin{array}{ccc} \lambda x_{2i} & = & \frac{k}{\sqrt{Mm}... ...k}{M} x_{2i+1} + \frac{k}{\sqrt{Mm}} x_{2i + 2} \end{array}$$ (III.38)

entonces las Matrices de Tranferencia tiene la siguiente estructura

$$\left[ \begin{array}{cccc} (\lambda + \frac{2k}{m}) \frac{... ... 0 \end{array} \right] \qquad \mbox{part\'{\i}culas \ pares}$$

$$\; \; \; \left[ \begin{array}{cccc} (\lambda + \frac{2k}{m... ... \end{array} \right] \qquad \mbox{part\'{\i}culas \ impares}$$

es claro que también las Matrices de Transferencia alternan, por lo tanto es conveniente considerar a las partículas por parejas, en otras palabras, considerar la celda unitaria constituida de dos átomos, entonces la Matriz de Transferencia adecuada es el producto de las dos de arriba, si antes de efectuar el producto utilizamos las siguientes notaciones

$$\xi = \frac{\lambda \sqrt{Mm}}{2k} \ \ \ \ \ \ \ \ \rho = \frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m}}$$ (III.39)

donde $\xi$ la podemos interpretar como una frecuencia normalizada por la razón del promedio geométrico de las masas y el promedio aritmético de dos resortes, y a $\rho^2$ como la razón de masas. Además

$$\alpha = \left(\lambda + \frac{2k}{m}\right) \frac{\sqrt{Mm... ...a = \left(\lambda + \frac{2k}{M} \right) \frac{\sqrt{Mm}}{k}$$ (III.40)

que en términos de $\xi$ y $\rho$ quedan

$$\alpha = 2(\xi + \rho) \qquad \qquad \beta = 2(\xi + \frac{1}{\rho})$$

calculemos el producto deseado

$$T_{D} = \left[ \begin{array}{cc} \alpha & -1 \\ & \\ ... ...ray}{cc} \beta & -1 \\ & \\ 1 & 0 \end{array} \right]$$

finalmente

$$T_{D} = \left[ \begin{array}{cc} \alpha \beta - 1 & -\alpha \\ & \\ \beta & -1 \end{array} \right]$$ (III.41)

La Ec. característica de $T_D$ es

$$\left[ \begin{array}{cc} \alpha \beta - 1 -\mu & -\alpha \\ & \\ \beta & -1 -\mu \end{array} \right] = 0$$

explícitamente

$$(\mu +1)[(\mu + 1) - \alpha \beta] + \alpha \beta = 0$$

$$(\mu + 1)^{2} - \alpha \beta (\mu + 1) + \alpha \beta = 0$$

finalmente la relación de dispersión en términos de $\alpha$ y $\beta$ es

$$\mu^{2} + (2 - \alpha \beta)\mu + 1 = 0$$ (III.42)

haciendo uso de las expresiones para $\alpha$ y $\beta$ en función de los parámetros $\xi$ y $\rho$, podemos expresar a (III.42) en términos de éstos, pero antes calculemos el producto de $\alpha \beta$

$$\alpha \beta = 2(\xi + \rho) \cdot 2(\xi + \frac{1}{\rho}) = 4\left[\xi^{2} + \xi(\rho + \frac{1}{\rho}) + 1\right]$$ (III.43)

si se introduce otro nuevo parámetro

$$P = \frac{1}{2}\left(\rho + \frac{1}{\rho}\right)$$ (III.44)

haciendo uso de la expresión para $\rho$, $P$ en términos de las masas tiene la forma

$$P = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{M}}{\sqrt{m}} + \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{M}}\right) = \frac{1}{2} \ \frac{M + m}{\sqrt{m}}$$

así $P$ resulta ser la razón del promedio aritmético al promedio geométrico de las masas, si ahora sustituimos $P$ en $\alpha \beta$, y la última en la relación de dispersión, ésta toma la forma

$$\mu^{2} + (2 - 4 \xi^{2} - 8 P \xi - 4) \mu + 1 = 0$$

finalmente

$$\mu^{2} - (4 \xi^{2} + 8 P \xi + 2)\mu + 1 = 0 \eqno{(\mbox{III.42'})}$$

por simplicidad en el álgebra obtenemos los números de onda de (III.42)

$$\mu = \frac{\alpha \beta - 2}{2} \pm \frac{\sqrt{(\alpha \beta - 2)^{2} - 4}}{2}$$

o también

$$\mu = \frac{\alpha \beta - 2}{2} \pm \frac{\sqrt{\alpha \beta(\alpha \beta - 4)}}{2}$$

es claro que

$$\mu = \mu (\xi, P)$$

veamos cual es la frontera entre los $\mu$ reales y complejos, que está dada por la Ec.

$$\alpha \beta (\alpha \beta - 4) = 0$$

si hacemos uso de (III.43), la Ec. de arriba en función de $\xi$ y $P$ es

$$[4(\xi^{2} + 2 \xi P + 1)][4 \xi^{2} + 8 \xi P + 4 - 4] = 0$$

también es posible expresar como

$$(\xi^{2} + 2 P \xi + 1)(\xi^{2} + 2 P \xi) = 0$$

con lo que tenemos dos alternativas

$$\xi^{2} + 2 P \xi + 1 = 0$$ (III.45)

ó

$$\xi (\xi + 2 P) = 0$$

la segunda de las Ecs. de arriba, nuevamente nos proporciona dos alternativas

$$\xi = 0 \eqno{(\mbox{III.46a})}$$

ó

$$\xi + 2P = 0 \eqno{(\mbox{III.46b})}$$

la Ec. (III.45) es una hipérbola cuyas asíntotas son las Ecs. (III.46). Ahora analicemos la relación de dispersión en términos de $\xi$ y $P$, utilizando la Ec. (III.42') se tiene

$$P = \frac{\mu^{2} - (4 \xi^{2} + 2) \mu + 1}{8 \xi \mu}$$ (III.47)

considerando a $\mu$ como una constante, se tiene que $P$ es una fracción racional en $\xi$ cuya gráfica es una hipérbola, ya que se sabe que una fracción racional de segundo grado representa una hipérbola. La Ec. (III.47) tiene un sólo polo en $\xi = 0$ y sus raíces están dadas por

$$\mu^{2} - 4 \mu \xi^{2} - 2 \mu + 1 = 0$$

entonces éstas son

$$\xi = \pm \frac{\mu - 1}{2\sqrt{\mu}}$$

es claro que existirán unicamente para valores de $\mu$ positivos, en otras palabras si se hace una gráfica de $P$ versus $\xi$, considerando a $\mu$ como constante, existirán 2 clases de hipérbolas, unas que cortan al eje $\xi$ y otras que no lo hacen. La siguiente figura nos muestra los aspectos mencionados anteriormente

Figura 3.7:

Se observa en la figura las tres distintas regiones que corresponden a los diferentes valores de $\mu$ con énfasis en la frontera que separa a las regiones donde $\mu$ es real y donde ésta es compleja. Extrictamente hablando la única porción del plano $(P, \xi)$ que nos interesa, ya que es la físicamente aceptable, es aquella que parte de la recta tangente a la hipérbola frontera, cuya ecuación es

$$P = 1$$

y eso se debe a que $P$ únicamente puede asumir los valores mayores que $1$ y a lo más puede ser igual a $1$, vemos que cuando lo último ocurre, existe un intervalo continuo para $\xi$, pero en el momento en que $P$ comienza a crecer, es decir, las masas empiezan a diferir, existen tres regiones muy bien marcadas; la primera en que los valores de $\xi$ son muy pequeños y que se encuentra entre el eje $P$ y la hipérbola frontera representada por la Ec.(III.45); la segunda que es una región prohibida porque en este caso $\mu < 0$, que implica un fuerte amortiguamiento de la propagación, ésta se encuentra dentro de la rama de la hipérbola frontera. Finalmente, se tiene una tercera, localizada entre la frontera y la recta $\xi = -2 P$, donde en valor absoluto estas frecuencias crecen rápidamente. Pudiera ocurrir que ciertas frecuencias cayeran en la región donde $\mu > 0$, que implicaría una propagación exponencial creciente, pero de la relación de dispersión sabemos que su recíproco también es un eigenvalor de la Matriz de Transferencia, y esta $\mu$ cancelaría el crecimiento exponencial de la propagación.

Figura 3.8: Gráfica del negativo del cuadrado de las frecuencias naturales de una cadena diatómica de 8 partículas, donde se varia la razón de masas en el eje vertical.

Mediante el programa TRIDI se ha obtenido el espectro de frecuencias para una red diatómica, en la que se varía la razón de masas en una manera exponencial, la gráfica de este espectro corres-ponde a la Fig. (3.8), donde se observa el comportamiento descrito antes, es decir, tres regiones, una de frecuencias bajas, otra donde no se encuentra ninguna frecuencia y una tercera de frecuencias altas. También se han obtenido los Modos Normales y se han graficado como lo muestra la Fig. (3.9). La cadena es de 8 partículas, esta vez el parámetro que se varía es la razón de masas $\rho$ desde un valor igual a $1/2.5$ hasta $2.5$; la parte inferior de cada Modo corresponde al de una cadena con su primera partícula ligera, después van alternando en pesada, ligera, etc., y en la parte superior se convierte en partícula pesada, ligera pesada, etc. Se observa que se tienen en realidad dos cadenas, una formada por partículas ligeras y otra de pesadas; en los Modos de la izquierda que corresponden a los Opticos en orden descendente, éstas se comportan en forma antagónica en sus desplazamientos, mientras que en los Acústicos, que son los de la derecha en el mismo orden anterior, éstas se comportan con cooperación en sus desplazamientos.

Figura 3.9:

En los Modos Opticos las partículas ligeras son las que siempre tienen mayor amplitud, con excepción del tercer Modo ya que las partículas $3$ y $6$ forman un Nodo de la Cadena, mientras que en los Acústicos es claro que quienes tienen los desplazamientos son las partículas pesadas y las ligeras vibran como ellas lo hacen, nuevamente con excepción del sexto Modo en las que las partículas $3$ y $6$ vuelven a formar un Nodo. Asimismo se ve que la última partícula en la parte superior de cada Modo, tiene un desplazamiento positivo si éste es par y negativo si es impar. Finalmente, como siempre en el Modo de más baja frecuencia la cadena se desplaza como un todo. En el apéndice E se muestra el listado del programa TRIDI. Se tiene otro programa llamado TRIVD que varía la masa de una de las partículas pertenecientes a una cadena diatómica con una razón de masas fija. Cuando hicimos el análisis de una red homogénea con un defecto en masa, mencionamos que el comportamiento de una cadena arbitraria con defecto es similar al de una homogénea análoga, así que esta vez que se tiene una diatómica con defecto, uno debe esperar un comportamiento similar al de la homogénea. Se han obtenido resultados tanto para una cadena con un número par de partículas como para una con un número impar. En la Fig. (3.10) se muestra el Espectro para una red de 8 partículas que tiene el defecto en la partícula 4, la única diferencia que se observa con el de la Fig. (3.2), es que existe una banda prohibida en la que no se localiza ninguna frecuencia.

Figura 3.10: Gráfica del negativo del cuadrado de las frecuencias naturales de una cadena diatómica de 8 partículas, variando en el eje vertical la masa de la partícula 4.

Se muestran los Modos correspondientes en la Fig. (3.11), donde es clara la similaridad entre el comportamiento de estos Modos y los de la Fig. (3.3), por lo que no repetiremos lo expuesto para aquélla. La Fig (3.12) muestra el Espectro para una cadena de 7 partículas, cuya partícula 3 constituye el defecto, se observa que esta vez existe una frecuencia, la número 4 en orden descendente, que penetra en la región prohibida, cosa que no ocurre para un número par de partículas, por lo demás el comportamiento del Espectro es similar al de la cadena homogénea con defecto. Por simetría sólo se grafican 6 de los 7 Modos de esta cadena, la Fig. (3.13) nos lo muestra, pero es clara la tendencia de que el último Modo tenga comportamiento similar al Modo de más baja frecuencia de la cadena de 8 partículas. Asimismo se observa que el comportamiento de todos los Modos es similar a los de una homógenea con defecto, por lo que tampoco repetiremos lo expuesto para aquél modelo. En el Apéndice F se encuentra el listado del programa TRIVD.

Figura 3.11:

En los modelos que siguen, no se obtuvieron expresiones explícitas para obtener las frecuencias como se ha venido haciendo hasta ahora, porque éstos no tienen expresiones simples para su Ec. característica que puedan interpretarse, es por ello, que únicamente se muestran los resultados obtenidos por computadora.

Figura 3.12: Gráfica del negativo del cuadrado de las frecuencias naturales de una cadena diatómica de 8 particulas variando en el eje vertical la masa de la partícula 3.

Figura 3.13: