Expresiones para el producto de dos matrices de transferencia en la representación vectorial

Sean las siguientes Matrices Unimodulares expresadas en la forma obtenida anteriormente

$$A = a_{0} I + a_{1} J + a_{2} K + a_{3} L$$

$$B = b_{0} I + b_{1} J + b_{2} K + b_{3} L$$

calculemos su producto

$$AB = (a_{0} I + a_{1} J + a_{2} K + a_{3} L)(b_{0} I + b_{1} J + b_{2} K + b_{3} L)$$

utilizando la tabla (IV.11) y agrupando los términos como coeficientes de las matrices base, se tiene

$$\begin{eqnarray*} AB & = & (a_{0} b_{0} + a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{3} b_{... ... K + (a_{0} b_{3} + a_{3} b_{0} + a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) L \end{eqnarray*}$$

ahora bien, si escribimos de la siguiente forma a las matrices $A$ y $B$

$$\begin{array}{ccc} A & = & a_{0} I + \widehat{a} \\ B & = & b_{0} I + \widehat{b} \end{array}$$ (IV.12)

de los resultados de arriba es posible definir un ``producto interior'' que corresponde al coeficiente de $I$, que difiere del producto interior usual en que existe un término con signo negativo, lo que va a implicar que tengamos una métrica distinta de la ordinaria; en función de los ``vectores'' $\widehat{a}$ y $\widehat{b}$, el producto interior se define como

$$(\widehat{a}, \widehat{b}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3}$$ (IV.13)

También es posible definir un producto vectorial que también difiere del ordinario en el signo del coeficiente correspondiente a la matriz $L$, explícitamente para los vectores $\widehat{a}$ y $\widehat{b}$ se tiene

$$\widehat{a} \times \widehat{b} \: = \: (a_{2}b_{3} - a_{3}b... ...(a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}) K + (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) L$$ (IV.14)

con todo lo anterior ya es posible efectuar el producto de $2$ matrices representadas en forma exponencial, ya que estamos interesados en ver como se combinan los exponentes, éstas son

$$\begin{eqnarray*} e^{\varphi \ \widehat{u}} & = & \mbox{cosh} \ \varphi \ ( I +... ...} & = & \mbox{cosh} \ \psi \ (I + \mbox{tan} \psi \widehat{V}) \end{eqnarray*}$$

efectuando el producto

$$\begin{eqnarray*} e^{\psi \ \widehat{V}} e^{\psi \ \widehat{V}} & = &[\mbox{cos... ...h} \ \varphi \ \mbox{tanh} \ \psi \ \widehat{U} \ \widehat{V}] \end{eqnarray*}$$

como $\widehat{U}$ y $\widehat{V}$ no tienen coeficiente para $I$, es posible expresar el producto de ellas a partir de las definiciones (IV.13) y (IV.14), es decir

$$\widehat{U} \ \widehat{V} = I (\widehat{U}, \widehat{V}) + \widehat{U} \times \widehat{V}$$ (IV.15)

se tiene entonces

$$\begin{eqnarray*} e^{\varphi \ \widehat{U}} \ e^{\psi \ \widehat{V}} &=& I[\m... ...arphi \ \mbox{tanh} \ \psi \ (\widehat{U} \times \widehat{V})] \end{eqnarray*}$$

si se define

$$\begin{eqnarray*} e^{\varphi \ \widehat{U}} \ e^{\psi \ \widehat{V}} &=& e^{\th... ... I + \mbox{cosh} \ \theta \ \mbox{tanh} \ \theta \ \widehat{W} \end{eqnarray*}$$

comparando coeficientes con el primer resultado, se tiene que

$$\mbox{cosh} \ \theta = \mbox{cosh} \ \varphi \ \mbox{cosh} ... ... \varphi \ \mbox{senh} \ \psi \ (\widehat{U}, \ \widehat{V})$$ (IV.16)

si hacemos analogía con trigonometría esférica podemos decir que (IV.15) es la relación para el $cosh$ de la suma de dos ángulos en trigonometría hiperbólica, ya que ahora estamos tratando con funciones trigonométricas hiperbólicas, la cual nos implica que no podemos, al multiplicar las exponenciales, sumar simplemente los ángulos para obtener el ángulo resultante. Para la parte vectorial se tiene

$$\mbox{tanh} \ \theta \ \widehat{W} = \frac{\mbox{cosh} \ \va... ...phi \ \mbox{tanh} \ \psi \ (\widehat{U} \times \widehat{V})]$$ (IV.17)

es conveniente efectuar una definición más

$$\widetilde{W} = \mbox{tanh} \ \theta \ \widehat{W} \eqno{(\mbox{IV.18a})}$$

en términos de $W$

$$\widetilde{W} = \frac{W}{\mbox{cosh} \ \theta} \eqno{(\mbox{IV.18b})}$$

de la misma forma

$$\widetilde{U} = \mbox{tanh} \ \varphi \ \widehat{U} \qquad \qquad \widetilde{V} = \mbox{tanh} \ \psi \ \widehat{V}$$ (IV.19)

sustituyéndolas en (IV.16) se tiene

$$\widetilde{W} = \frac{\mbox{cosh} \ \varphi \ \mbox{cosh} \... ...idetilde{U} + \widetilde{V} + \widetilde{U} + \widetilde{V})$$

finalmente

$$\widetilde{W} = \frac{\widetilde{U} + \widetilde{V} + \wid... ...U} \times \widetilde{V}}{1 + (\widetilde{U}, \widetilde{V})}$$ (IV.20)

Las Ecs. (IV.16) y (IV.20) son las expresiones que nos permiten el cálculo del producto de dos Matrices Unimodulares en esta representación.