Representación geométrica

El análisis de la representación geométrica de las Matrices Unimodulares de dimensión dos es como sigue; ya hemos visto que es posible repesentar toda matriz unimodular como la exponencial del producto entre un ángulo y un ``vector'' éste último está definido en un espacio cuyos ``vectores'' base son $J,K,L$; además este espacio tiene una norma definida por (IV.8). Se tenía la definición para una cierta $U$ en la forma

$$\widetilde{U} = \mbox{tanh} \ \varphi \ \widehat{U}$$

donde $\widehat{U}$ es un ``vector unitario'', por lo que podemos decir que la magnitud de $\widetilde{U}$ es $\mbox{tanh} \ \varphi$, y a $\varphi$ como veremos más adelante tendremos que interpretarlo como un cierto ángulo de rotación; además de (IV.18b) $\widetilde{U}$ también tiene la expresión

$$\widetilde{U} = \frac{U}{\mbox{cosh} \ \varphi}$$

ya que los elementos de nuestra matriz son reales, entonces los elementos de $U$ también son reales, lo mismo que el $\mbox{cosh} \ \varphi$, por lo tanto tenemos un conjunto de ``vectores'' reales, que nos son otra cosa que un conjunto de repesentaciones para las Matrices Unimodulares. Consideremos el ``vector'' unitario

$$\widehat{U} = u_{1} \ J + u_{2} \ K + u_{3} \ L$$

cuya norma expresada en función de sus componentes es

$$(U, \ U) = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} - u_{3}^{2} = 1$$ (IV.21)

que se reconoce com la Ec. de un hiperboloide de una sóla rama, debido a lo anterior podemos decir que todos los ``vectores'' unitarios definen una superficie hiperbólica de una sóla rama.