Parametrización de rotaciones hiperbólicas

Cuando uno trabaja en el espacio ordinario, es decir, donde los vectores unitarios definen una superficie esférica en tres dimensiones, una parametrización conveniente para las Rotaciones es la que hace uso de Involuciones [20], que consiste en descomponer la rotación como el producto de dos Involuciones, matricialmente

$$R = S_{2} \ S_{1}$$ (IV.22)

donde $S_{2}^{2} = S_{1}^{2} = I$ el procedimiento consiste en seleccionar dos ejes en el plano ecuatorial, éste es aquel plano perpendicular al eje de rotación, de tal forma que el ángulo que los separe sea la mitad del ángulo de rotación, ya que se sabe que la rotación está representada por el arco que une a dichos ejes y cuya longitud es la mitad del ángulo. Si después uno desea efectuar otra rotación, se seleccionan los dos ejes correspondientes de manera adecuada, sólo que el primero se hace coincidir con el de la Segunda Involución de la primera rotación, de tal forma que la rotación que resulta está representada como la suma de los dos arcos, en forma matricial

$$R_{1} = S_{2} \: S_{1}$$

$$R_{2} = S_{3} \: S_{2}$$

$$R = R_{2} \: R_{1} = S_{3} \: S_{2} \: S_{2} \: S_{1}$$

pero

$$S_{2} \: S_{2} = S_{2}^{2} = I$$

por lo tanto

$$R = S_{3} \: S_{1}$$

La Fig. (4.1) nos muestra gráficamente lo anterior.

Figura 4.1:

Entonces se tiene una suma ``vectorial'', donde cada ``vector'' representa un arco de ecuador, cuya longitud es la mitad del ángulo de la rotación que está representado. Análogamente en este espacio hiperbólico también es posible la parametrización, sólo que ahora los arcos no corresponden a los de círculos máximos, sino que pueden ser de dos clases, dependiendo en la orientación del ``vector'' de rotación, o de una elipse o de una hipérbola. La demostración de dicha Parametrización es como sigue: Consideremos dos ``vectores''

$$\widehat{U} = u_{1} \ J + u_{2} \ K + u_{3} \ L$$

$$\widehat{V} = v_{1} \ J + v_{2} \ K + v_{3} \ L$$

cuya norma en esta métrica es unitaria, en otras palabras pertenecen al Hiperboloide unitario, explícitamente

$$(\widehat{U}, \ \widehat{U}) = 1$$

$$(\widehat{V}, \ \widehat{V}) = 1$$

calculemos los productos $\widehat{U} \ \ \widehat{U}$ y $\widehat{V} \ \ \widehat{V}$ que tienen las expresiones

$$\widehat{U} \ \widehat{U} = (\widehat{U}, \ \widehat{U}) \ I + \widehat{U} \times \widehat{U}$$

$$\widehat{V} \ \widehat{V} = (\widehat{V}, \ \widehat{V}) \ I + \widehat{V} \times \widehat{V}$$

ya conocemos el valor del producto interior, sólo resta efectuar el producto vectorial, de la Ec. (IV.14) se tiene

$$\widehat{U} \times \widehat{U} = (u_{2} u_{3} - u_{3} u_{2}... ...}) \: K \ + \ (u_{2} u_{1} - u_{1} u_{2}) \: L = \widehat{0}$$

análogamente

$$\widehat{V} \times \widehat{V} = \widehat{0}$$

que era de esperarse ya que el producto es antisimétrico; por lo tanto

$$\begin{array}{ccc} \widehat{U} \ \widehat{U} & = & I \\ \widehat{V} \ \widehat{V} & = & I \end{array}$$ (IV.23)

las Ecs. de arriba nos dicen que $\widehat{U}$ y $\widehat{V}$ representan una Involución cada una de ellas. Ahora calculemos el siguiente producto interior.

$$\begin{eqnarray*} (\widehat{U} \times \widehat{V}, \widehat{U} \times \widehat{... ... v_{1} - u_{1} v_{3}) \ K + (u_{2} v_{1} - u_{1} v_{2}) \ L]) \end{eqnarray*}$$

donde hemos hecho uso de (IV.14), ahora de (IV.21) se tiene

$$\begin{eqnarray*} (\widehat{U} \times \widehat{V}, \ \ \widehat{U} \times \wid... ... \\ & = & (u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} - u_{3} \ v_{3})^{2} - 1 \end{eqnarray*}$$

Si definimos

$$u_1 v_1 + u_2 v_2 - u_3 v_3 = \mbox{cosh} \ \theta$$ (IV.24)

podemos interpretar la Ec.s de arriba como la proyección de un vector en el otro, extríctamente deberíamos multiplicar el $\mbox{cosh} \ \theta$ por el producto de las magnitudes de $\widehat{U}$ y $\widehat{V}$ pero como éstos son unitarios, no hay en este caso necesidad de ello. Se tiene entonces

$$(\widehat{U} \times \widehat{V}, \widehat{U} \times \wideh... ...) = \mbox{cosh}^{2} \ \theta - 1 = \mbox{senh}^{2} \ \theta$$

por lo tanto

$$\widehat{U} \times \widehat{V} = \mbox{senh} \: \theta \: \widehat{W}$$ (IV.25)

donde $\widehat{W}$ es un``vector'' unitario y perpendicular en la norma de Lorentz a los ``vectores'' $\widehat{U}$ y $\widehat{V}$, y cuya magnitud es $\mbox{senh} \ \theta$ donde $\theta$ es el angulo que separa a $\widehat{U}$ y a $\widehat{V}$. De (IV.15) se tiene

$$\widehat{U} \widehat{V} = (\widehat{U}, \widehat{V}) I + \widehat{U} \times \widehat{V}$$

sustituyendo (IV.24) y (IV.25) en la Ec. de arriba se llega a la expresión .

$$\widehat{U} \ \widehat{V} = \mbox{cosh} \ \theta \ I + \mbox{senh} \ \theta \ \widehat{W}$$ (IV.26)

observemos que el miembro derecho de ésta última es idéntico al de (IV.10'), y de (IV.10) es posible escribirla como

$$\widehat{U} \ \widehat{V} = e^{\theta \widehat{W}} \eqno{(\mbox{IV.26'})}$$

que nos representa una clase de Rotación que denominaremos Hiperbólica, lo anterior debido a la métrica que se tiene. Podemos concluir que siempre es posible factorizar cualquier rotación hiperbólica $e^{\theta \widehat{W}}$ en el producto de dos Involuciones, representadas por dos ``vectores'' unitarios $\widehat{U}$ y $\widehat{V}$. El proceso para hallar la representación geométrica de esta clase de rotaciones consiste en principio, en localizar la región perpendicular al Polo o Eje de la rotación, que en este caso es $\widehat{W}$ lo cual puede hacerse de la siguiente forma: Consideremos la expresión del producto interior de los ``vectores'' $\widehat{U}$ y $\widehat{W}$

$$(\widehat{U}, \widehat{W}) = u_1 w_1 + u_2 w_2 - u_3 w_3$$

que también es posible escribir como

$$(\widehat{U}, \widehat{W}) = [\widehat{U}, N \widehat{W}] =... ...egin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right]$$ (IV.27)

donde

$$N = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right]$$ (IV.28)

corresponde a la matriz de métrica en este espacio, es claro que representa una reflexión en el plano generado por las coordenadas 1 y 2. El Ecuador cumple con la siguiente Ec.

$$[\widehat{X}, N \ \widehat{W}]= 0$$

explícitamente

$$w_1 x_1 + w_2 x_2 - w_3 x_3 = 0$$ (IV.29)

que se reconoce como la Ec. de un plano que pasa por el origen, la intersección de éste con el hiperboloide

$$x^{2}_{1} + x^{2}_{2} - x^{2}_{3} = 1$$ (IV.30)

ya que estamos trabajando en el hiperboloide unitario, como se sabe en general es una curva plana de segundo grado, cuyas Ecs. paramétricas son (IV.29) y (IV.30), pero es posible hallar otra expresión para ellas de la siguiente forma, despejemos de (IV.29) $a \ x_3$ con lo que se tiene

$$x_3 = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2}{w_{3}}$$

elevando al cuadrado

$$x^{2}_{3} = \frac {w^{2}_{1} x^{2}_{1} + w^{2}_{2} x^{2}_{2} + 2 w_{1} w_{2} x_{1} x_{2}}{w^{2}_{3}}$$

sustituyendo en (IV.30)

$$x^{2}_{1} + x^{2}_{2} - \frac{w^{2}_{1} x^{2}_{1} + w^{2}_{2} x^{2}_{2} + 2 w_{1} w_{2} x_{1} x_{2}}{w^{2}_{3}} = 1$$

finalmente

$$x^{2}_{1} (w^{2}_{3} + w^{2}_{1}) + x^{2}_{2} (w^{2}_{3} - w^{2}_{2}) - 2 w_{1} w_{2} x_{1} x_{2} - w^{2}_{3} = 0$$ (IV.31)

análogamente despejando $x_{2}$, por el mismo proceso se obtiene la segunda Ec. paramétrica

$$x^{2}_{1} (w^{2}_{1}+w^{2}_{2}) - x^{2}_{3} (w^{2}_{2} - w^{2}_{3}) - 2 w_{1} w_{3} x_{1}x_{3} - w^{2}_{2} = 0$$ (IV.32)

la primera corresponde a la de un cilindro elíptico y la segunda a un hiperbolíco. Dependiendo en las coordenadas de $\widehat{W}$ las curvas serán elipses o hipérbolas únicamente, ya que los casos extremos que serían un círculo o las asíntotas del hiperboloide no ocurren, porque eso implicaría que el eje $x_{3}$ se encuentra sobre la superficie del hiperboloide, lo cual no es cierto, ni tampoco lo es que las asíntotas pertenezcan a él. Ahora ya que tenemos el Ecuador, dado por la Ec. (IV.29), lo siguiente es seleccionar en ésta a dos ``vectores'' unitarios, digamos $\widehat{U}$ y $\widehat{V}$ que cumplan con la siguiente condición y que serán los ejes de las Involuciones

$$[\widehat{U}, N \ \widehat{V}]= \mbox{cosh} \ \theta$$ (IV.33)

donde $\theta$ es el ángulo que los separa, éstos estarán unidos por un arco hiperbólico cuya longitud es $\theta$ que es un resultado análogo al arco esférico en el espacio ordinario. Este arco hiperbólico es el que representa geométricamente a la rotación hiperbólica cuyo ángulo es $\theta$ y su eje de rotación es $\widehat{W}$. Es claro que cualquier pareja de ``vectores'' con separación angular bien definida representan a una misma rotación hiperbólica, para eliminar esta ambigüedad se elige a $\widehat{V}$ de tal manera que su proyección sobre el plano $(x_{1}, x_{2})$ quede a lo largo del eje $x_2$ La Fig. (4.2) nos muestra todo lo anterior para el caso en que el Ecuador es una elipse. Finalmente si se desea multiplicar dos matrices Unimodulares, que en esta representación consiste en combinar dos rotaciones hiperbólicas y desde el punto de vista geométrico consiste en lo siguiente: Hallaremos los correspondientes Ecuadores, después se busca la intersección de éstos de tal forma que por este punto va a pasar el eje de la Involución común en ambas rotaciones, después se forma el arco en un Ecuador cuyo extremo final coincida con la intersección y de ahí se mide el otro arco que corresponde a la segunda rotación, en el Ecuador correspondiente; para acabar se unen los puntos inicial y final mediante el arco de una curva, que se encuentra en un plano que pasa por estos puntos, con lo anterior se tiene el arco, que es la suma ``vectorial'' de dos originales y que representa a la rotación resultante. En general no conmutará la suma anterior que es un resultado esperado ya que las matrices no conmutan bajo la multiplicación. La Fig (4.3) nos muestra una suma ``vectorial'' de esta clase

Figura 4.2:

Figura 4.3: