Interpretación de los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de transferencia.

Es conveniente, examinar los eigenvalores y eigenvectores de la matriz de Transferencia $T$, es decir, considerar un segundo problema de eigenvalores.

$$T Z = \mu Z$$ (I.18)

así, cuando $2K$ desplazamientos sucesivos forman un eigenvector de $T$, se tiene que cada componente es multiplicada por el factor $\mu$ al pasar de una partícula a la siguiente. La interpretación natural de estos eigenvectores es que definen la descomposición de los desplazamientos de las partículas de ondas, cuya constante de propagación es $\mu$. Como $\mu$ puede ser real o complejo, imaginario, de módulo 1 ó diferente; es posible distinguir la propagación de ondas, de forma creciente o decreciente, oscilaciones, o una mezcla, respectivamente. A menudo el logaritmo de $\mu$ es más útil

$$\mu = e^{\varphi}$$ (I.19)

y a $\varphi$ es a lo que se le denomina como número de onda de Z. En el caso de una cadena homogénea, ya hemos visto que

$$\tau = T^{N}$$

Entonces teniendo los eigenvalores y eigenvectores de $T$ uno puede aplicar el Teorema Espectral para expresar a $T$ como

$$T = \sum^{2k}_{i = 1} \ \lambda_{i} \ \frac{\arrowvert i >< i \arrowvert}{< i \arrowvert i >}$$ (I.20)

donde

$$\frac{\arrowvert i >< i \arrowvert}{< i \arrowvert i>}$$

es el operador de Proyección para el eigenvalor $\lambda_i$, en el caso de que lo eigenvectores no estén normalizados. Con lo anterior es muy fácil calcular cualquier potencia de $T$, ya que si uno aplica el Teorema de Sylvester, se tiene

$$T^{N} = \sum^{2k}_{i = 1} \ \lambda^{N}_{i} \ \ \frac{\arrowvert i >< i \arrowvert}{< i \arrowvert i>}$$ (I.21)