Definición de los modos normales usando la matriz de transferencia.

Otra cosa importante que se puede ver del sistema de ecuaciones (2.14) es, que es precisamente el sistema que nos permite calcular los eigenvalores; además la matriz $T^{(n)}$ la podemos poner en una forma tal que sus elementos sean polinomios de $\lambda$, esto se puede comprobar por multiplicaciones sucesivas de $T$, por lo tanto podemos suponer que la matriz $T^{(n)}$ tiene la forma siguiente:

$$T^{(n)}=\left[\begin{array}{llll} q_{11}(\lambda ) & q_{12... ...da ) & q_{43}(\lambda ) & q_{44}(\lambda ) \end{array}\right]$$ (2.16)

Si sustituímos esta matriz en la ecuación (2.15) junto con las condiciones a la frontera, resulta el sistema homogéneo siguiente:

$$\begin{array}{lll} 0 & = & x_2 q_{11}(\lambda ) + x_1 q_{1... ...& = & x_2 q_{21}(\lambda ) + x_1 q_{22}(\lambda ) \end{array}$$ (2.17)

Pero como es posible que de entre dos elementos distintos de cero resulte una ecuación con ceros, este resultado es bien conocido ya que una ecuación homogénea únicamente tiene una solución no trivial cuando el determinante de sus coeficientes es igual a cero, esto es:

$$(T^{n})_{11} = \left\vert\begin{array}{ll} q_{11}(\lambda... ..._{21}(\lambda ) & q_{22}(\lambda ) \end{array}\right\vert = 0$$ (2.18)

Evidentemente los desplazamientos $x_1$ y $x_2$ forman un eigenvector de la submatriz y pertenecen al eigenvalor cero, lo cual nos determina la razón entre los primeros desplazamientos ya que los demás se analizan por aplicaciones de $T$.

Ahora como $T^n$ está definido como el producto de toda las $T$'s de tal forma de que corresponda a la sucesión de las partículas en la cadena, para el caso que estamos tratando de una cadena uniforme, el problema se simplifica, ya que todas las matrices $T$ son iguales.