Eigenvalores $\mu$ (números de onda) y eigenvectores de la matriz de transferencia (onda).

De tal forma de encontrar la $n$-ésima potencia de $T$ es conveniente introducir sus propios eigenvalores y eigenvectores, para lo cual construimos el segundo problema de eigenvalores, esto es:

$$TZ = \mu Z$$ (2.19)

Analizando esta ecuación, vemos que cuando una ventana de cuatro desplazamientos es descompuesta por medio de los eigenvectores de $T$, entonces cada componente es multiplicada por el factor $\mu$ al pasar de una partícula a la otra, esto nos permite observar el comportamiento de un grupo de partículas sin tener que observar toda la cadena, que es un resultado importante que emplearemos posteriormente, con esta idea sabremos cual es el número de coordenadas (que en este caso será mínimo) relacionado por una ecuación sencilla. Desde el punto de vista ondulatorio, analizamos una ventana de la cadena, en donde no interpretamos el eigenvector como en el de la matriz de movimiento, sino como una suma de cuatro vectores, que son precisamente componentes con respecto a los eigenvectores de la matriz original, por lo tanto es fácil de resolver estos desplazamientos locales, que podemos identificar como una onda y tratar el análisis de la cadena como la superposición de estas ondas primitivas. Por lo tanto la interpretación que se le da a los eigenvectores de $T$ es que ellos definen la descomposición de los desplazamientos de las partículas dentro de las ondas, donde la propagación consiste en el multiplicador $\mu$; es decir, que las ondas parciales, que son las que se observan en nuestro caso, son multiplicadas por un factor cuando se corre la ventana, por lo tanto el análisis es más sencillo que el que se emplearía con corrimientos cíclicos y combinaciones lineales, se puede decir que $x_{i+1} =\mu x_i$, si cada componente tiene amplitud relativa determinada por las componentes de un eigenvector, además como $\mu$ puede resultar real, complejo o imaginario puro, de valor absoluto uno, o distinto, es posible distinguir la propagación de las oscilaciones, sus amortiguamientos o crecimientos.

Es conveniente introducir el logaritmo de $\mu$, esto es:

$$\ln\mu = \phi$$ (2.20)

Con lo cual es definido el número de onda, de la onda $Z$, que no es otra cosa que la frecuencia espacial, ya que nos da la variación por unidad de distancia.

Existen principalmente cuatro casos para $\mu$, que es necesario distinguir de (2.20), tenemos:

1. Si $\phi$ es real $\longrightarrow \;\;\mu$ real, positivo o negativo
2. Si $\phi$ es imaginario $\longrightarrow$ $\vert\mu\vert =1$
3. Si $\phi\: =$ real $+\,\i\pi \:\ \longrightarrow \mu < 0$
4. Si $\phi$ es complejo $\longrightarrow \:\ \mu$ complejo

Descripción en términos de ondas: