Tercer Caso.

Si $\phi =\alpha +i\pi$, con $\alpha$ real resulta:

$$\mu =e^{\alpha +i\pi} = e^{\alpha} e^{i\pi}= -e^{\alpha}$$

Por este resultado vemos que se multiplica por un factor, el cual produce un cambio de signo, es decir, un desfasamiento de $180^\circ$, por lo tanto se observarán oscilaciones con inversiones de fase; además el comportamiento de las partículas alternantes es el mismo, podemos pensar que las partículas que interaccionan a segundos vecinos tienen un comportamiento similar esto lo podemos ver de la siguiente forma:

Usando el hecho de que:

$$x_{i+1} =\mu_i x_i \mbox{\hspace{.2in} y como \hspace{.2in}} \mu_i = e^{\alpha_i+i\pi};$$

resulta:

$$\begin{eqnarray*} x_{i+1} & = & e^{\alpha_i +i\pi} x_i = -e^{a_i} x_i \\ x_{i... ...pha_{i+n-1}} e^{in\pi} x_i \mbox{\ \ con \ \ } i=1,\ldots , n \end{eqnarray*}$$

Analizando la forma general vemos que si $n$ es par, las partículas: $i+2, i+4,\ldots ,i+n+2$, se mueven en la misma forma, podemos decir que van en la misma fase; si $n$ es impar entonces las partículas: $i+1, i+3,\ldots ,i+n-1$ van en la misma fase, gráficamente tenemos

Como se verá posteriormente, esto es lo que da la interpretación de la rama acústica, en vibraciones de redes.