Concepto de relación de dispersión en el presente modelo.

En el análisis del movimiento de una cadena lineal de masas necesariamente ambas frecuencias varian, si observamos esto en un intervalo de tiempo podemos comprobarlo, ya que las partículas van a oscilar tanto, que en un momento en que estén en su desplazamiento máximo rápidamente van a tratar de recuperar su posición incial, pero debido a que la inercia es muy rápida, llegan a un desplazamiento máximo en el otro sentido, esto sucede en un pequeño intervalo de tiempo, entonces la función sinusoidal del tiempo, va a cambiar su fase, en lugar de que su fase sea igual a ``$\delta =0$'' que es un máximo, es $\delta =\varepsilon$, que es un poco menos que el máximo<sup>4.1</sup>, por lo tanto nos vamos a mover con la cadena para poder observar, donde crece la fase espacial, para dar compensación al cambio de fase temporal, entonces el máximo puede ser que esté en una partícula, o en puntos intermedios entre dos partículas si se considera como continua la cadena, por lo tanto el análisis es similar, el del movimiento ondulatorio superficial en el agua, ya que en dicho movimiento da la impresión que el agua se mueve, pero en realidad el punto en donde ocurre el máximo es el que se mueve transversalmente, con lo cual la onda se puede trasladar a una gran distancia al movernos. Entonces realmente la velocidad de una onda es el cociente de la frecuencia temporal (deducida en el párrafo 2.2) y el número de onda, es decir la frecuencia espacial (definidas por 2.19); lo cual implica el concepto de Relación de Dispersión (ref. [11]), esto es $v=\lambda /\mu$, esto nos dice que tenemos la velocidad como función de ``$\lambda$'', lo cual quiere decir que no es constante para todo ``$\lambda$'', esto se puede interpretrar como que las ondas no se mueven a la misma velocidad con diferentes frecuencias.

El resultado es, que una onda que tiene una cierta forma, en presencia de un tren de ondas, su forma se puede distorisionar demasiado ya que es un tipo de series de Fourier de varias ondas, por lo tanto su fase relativa en un mismo punto puede ser muy diferente. Si la onda se mueve sin distorsión quiere decir que la relación de dispersión es una constante y recíprocamente, si la relación de dispersión no es constante, entonces habrá distorsión. En general la relación de dispersión es cualquier función que involucra $\lambda$ y $\mu$, en otras palabras $\lambda =\lambda (\mu)$, que es precisamente lo que estamos interesados en obtener; además la dependencia de los dos eigenvalores $\mu$ y $\lambda$, obviamente existe como se puede comprobar de la ecuación característica de la matriz de relaciones de recurrencia (matriz $T$), esto es:

$$a_2\mu^4 +a_1\mu^3 +(a_0 -\lambda)\mu^2 +a_1\mu +a_2 = 0$$