Comparación entre el modelo cíclico y el de extremos libres.

Así por ejemplo la diferencia entre el modelo cíclico $(M_c)$ y el modelo del extremo libre $(M_L)$ es una matriz que podemos calcular en la forma siguiente:

$$\left[\begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_... ...& a_1 \\ 0 & & & & a_1 & a_0^{\prime} \end{array}\right] =$$

$$\left[\begin{array}{ccccc} -(a_1 +a_2) & 0 & \cdots & a_2... ... & 0 \\ a_1 & a_2 & & 0 & -a_1 -a_2 \end{array}\right] =D$$ (10.1)

Para obtener esta matriz, hemos usado algunas consideraciones ya mencionadas con anterioridad, como son: el hecho de que estamos tratando con un caso de interacciones a segundo vecinos, lo cual da lugar a que en la matriz del modelo libre aparezcan los parámetros nuevos $a_0^{\prime}$ y $a_0^{\prime\prime}$ deducidos con anterioridad; otra cosa que se puede apreciar es que las matrices para el caso libre y cíclico, conservan la propiedad de que la suma de los elementos de cada renglón es cero y es claro que la diferencia entre ellos también conserva esta propiedad.

Además también podemos apreciar de la forma de la matriz $D$, que el vector que tiene todos sus elementos iguales a uno, es un eigenvector ya que si multiplicamos la matriz $D$ por este vector, el resultado es que se va a sumar cada renglón y cada renglón sumado resulta cero, esto es:

$$\left[\begin{array}{ccccc} -a_1 -a_2 & 0 & \cdots & a_2 &... ...in{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right]$$

Por lo tanto estamos tratando con el eigenvector correspondiente al eigenvalor cero, lo cual quiere decir que los desplazamientos son los mismos para cada elemento de la cadena, por lo tanto a un anillo y una cadena libre les es permitido un movimiento de traslación de todos los elementos que los constituyen.

En el caso de la cadena, que está fija en sus extremos, no es aplicable lo anterior y por lo tanto el vector con componentes 1's, no es eigenvector, ya que en este caso no existen los elementos de las esquinas que se forman por efectos del caso libre (esto es el $a_0^{\prime}$ y $a_0^{\prime\prime}$).

Ahora lo que nos interesa es analizar las propiedades de la matriz $D$, es posible obtener sus eigenvalores y eigenvectores en una forma inmediata, debido a que la parte del centro contiene puros ceros y por lo tanto únicamente una parte, que forma una matriz de $4\times 4$, es la que realmente nos interesa.

Para analizar la matriz $D$ es conveniente factorizar en la forma siguiente.

$$D=-a_2 II+\left[\begin{array}{rccr} -a_1 & 0 & a_2 & a_1 ... ...& 0 \\ a_1 & a_2 & 0 & -a_1 \end{array}\right] =D_1 -a_2 II$$

Los eigenvalores de la matriz $D_1$ se obtienen de

$$\left\vert\begin{array}{crrc} -a_1-\varepsilon & 0 & a_2 ... ..._1 & a_2 & 0 & -a_1-\varepsilon \end{array}\right\vert = 0 =$$

$$= -(a_1 +\varepsilon )\{ -\varepsilon [ -\varepsilon (-a_1 -... ...(-a_1-\varepsilon ) -a_2^2] +a_1[0] \} -\{\varepsilon (a_2)\}$$

Que es simplificado finalmente como

$$[\varepsilon (a_1 +\varepsilon )-a_2^2 +a_1\varepsilon ][\varepsilon (a_1 +\varepsilon ) -a_2^2 -a_1\varepsilon ] =0$$

Que se cumple si

$$[\varepsilon (a_1 +\varepsilon ) -a_2^2 +a_1\varepsilon ]= 0 \; \rightarrow \; \varepsilon ^2 -2a_1 \varepsilon -a_2^2 = 0$$

$$[\varepsilon ( a_1 +\varepsilon ) -a_2^2 -a_1\varepsilon ]= 0 \; \rightarrow \; \varepsilon ^2 -a_2^2 = 0 \qquad \qquad$$

Por lo tanto las raíces para estas ecuaciones son respectivamente

$$\begin{array}{rcl} \varepsilon & = & -a_1\pm \sqrt{a_1^2 +a_2^2} \\ \varepsilon & = & \pm a_2 \end{array}$$ (10.2)

Estos son los eigenvalores de la matriz $D_1$, pero los que necesitamos son los de la matriz $D_1 -a_2 II$ que son

$$\varepsilon _1=0 \; ; \mbox{\hspace{.2in} \hspace{.2in}} \v... ...qquad \varepsilon _{3,4} =-(a_1+a_2)\pm \sqrt{a_1^2 +a_2^2}$$

Esto es debido a que el parámetro $a_2$ únicamente afecta a la diagonal de la matriz $D$ y por consiguiente a sus eigenvalores; como se puede ver estos eigenvalores son todos ``negativos''; para los eigenvalores $\varepsilon _1$ y $\varepsilon _2$ esta afirmación es clara, para los otros dos es necesario aplicar la desigualdad de Schwarz para comprobarlo, esto es:

Sabemos que

$$(a_1 +a_2)^2 = a_1^2 +2a_1a_2 +a_2^2$$

$$(a_1 +a_2)^2 > a_1^2 +a_2^2 \qquad \mbox{\hspace{.2in} por lo tanto\hspace{.2in}}$$

$$(a_1 +a_2) > \sqrt{a_1^2 +a_2^2}$$ (10.3)

Con este resultado podemos concluir que los dos últimos eigenvalores son negativos. Entonces como todos los eigenvalores son negativos o cero, resulta que la matriz $D$ es negativa semidefinida, es decir cumple la desigualdad.

$$(X,DX) \leq 0$$ (10.4)

Por lo tanto la matriz $D$, que representa el problema cíclico menos el de extremos libres, proporciona una relación de orden sujeta a todas las propiedades aritméticas.

O sea que la matriz $D$, es la atriz que tiene que ser sumada a la matriz no-cíclica para obtener la cílcica, por esto, es conveniente encontrar una relación de orden entre los eigenvalores de la matriz cíclica (que denotamos $M_c$), con la matriz de extremos libres (que denotamos por $M_L$).

Partiendo de una relación anterior

$$M_c =D+M_L$$ (10.5)

Aplicando el producto interior a ambos lados de esta igualdad resulta

$$(x,M_c x) =(x, (D+M_L)x)$$

Como es lineal

$$(x,M_c x) =(x,Dx) +(x,M_L x)$$

Aplicando el hecho de que $D$ es una matriz negativa semidefinida, es decir se cumple que

$$\begin{eqnarray*} (x,DX) & \leq & 0 \qquad \mbox{\hspace{.2in}lo que implica\hspace{.2in}} \\ (x,M_c x) & \leq & (x,M_L x) \end{eqnarray*}$$

con lo que resulta finalmente que

$$M_c \leq M_L$$

Este último resultado implica, que si ordenamos los eigenvalores algebraicamente y en parejas, en cada una de estas matrices, los eigenvalores de $M_L$ siempre van a ser mayores que los de $M_c$. Este resultado se puede visualizar mejor en forma gráfica

Por lo tanto una onda de frecuencia alta es posible en el sistema cíclico. Para analizar los resultados anteriores es necesario usar el hecho de que

$$\frac{d^2 x_i}{dt^2} =\lambda x_i \qquad$$

Con lo cual se obtiene que

$$\omega =\pm i\sqrt{\vert\lambda \vert} \qquad \mbox{ que es la frecuencia}$$

Ya que siempre $\lambda <0$ entonces la raíz cuadrada es imaginaria pura, lo cual es correcto, ya que las frecuencias que no son otra cosa que los exponentes, son imaginarios puros que conducen a una exponencial real de una onda, entonces, a mayor $\lambda$ (en valor absoluto) la frecuencia es mayor, pero también implica que el módulo es más negativo, esto quiere decir, que el sistema cíclico tiene frecuencias que son mayores, cada una de ellas, a las correspondientes al sistema con extremos libres; esto se puede apreciar cuando hacemos vibrar, a una barra y un anillo que tengan la misma longitud, el resultado es una desigualdad; esto para los primeros eigenvalores no pasa, ya que hemos visto que son cero y en los demás existe la posibilidad de que sean iguales.