Como hemos visto a través del desarrollo de este trabajo, se ha seguido con la aproximación armónica en la consideración de redes dinámicas con interacciones a segundos vecinos, ya que el estudio que involucra interacciones a primeros vecinos, ha sido estudiado extensamente y ha servido como base para conclusiones que consideran algunas propiedades termodinámicas y físicas de redes cristalinas. Esta aproximación armónica es sujeta al hecho bien conocido de ``efectos'' no lineales.
La otra aproximación que es muy importante y que fue
considerada (Cap. 9) es la de efectos superficiales, (que son
ignorados completamente en la aproximación de Born - von Kármán) que
son más importantes y realistas claramente en modelos
tridimensionales que en unidimensionales. Debido a que los efectos
superficiales se asemejan considerablemente a los efectos debidos a
defectos en redes y además debido a que son completamente
importantes en muchas áreas de aplicación, pusimos atención
particular a las propiedades de las superficies y defectos de varios
tipos, que aún cuando su estudio se aplicó a modelos
unidimensionales se trató de prepararlo para su aplicación a
modelos de más dimensiones.
La primera parte de este estudio estuvo enfocada al estudio
matemático del modelo, por supuesto que el primer objetivo del
estudio fue el de considerar una cadena uniforme, que es la
configuración más simétrica y que nos sirvió como base para que
todas las demás confi-guraciones fueran elaboradas. En esta parte, lo
único que nos interesó fue la obtención de un modelo general el
cual fuera susceptible de cambios, es decir, que fuera capaz de darnos
información de las distintas configuraciones que fueran elaboradas,
por lo tanto en esta primera parte se obtuvieron conceptos generales,
como el de la matriz de movimiento, el de frecuencias, modos normales,
el de la matriz de transferencia, y algunos teoremas que fueron
bastante importantes para el desarrollo de las demás configuraciones
o modelos particulares.
El otro tipo de aproximación que se encuentra en la literatura
y que nos sirvió de base para hacer algunas comparaciones, para
poder sacar conclusiones, es la aproximación de interacciones a
primeros vecinos, nosotros decidimos hacer un examen explícito
de la pequeña relación que se encuentra entre modelos con diferentes
rangos de interacción, aún cuando nos hemos concentrado más en
la pequeña relación entre el modelo de primeros vecinos y el
modelo de segundos vecinos; esto es debido a que por variar la razón
de constantes de interacción de primeros y segundos vecinos es
posible efectuar una transición continua entre un estado en que
prevalecen las interacciones a primeros vecinos a otro en que existe
únicamente interacciones a segundos vecinos; el extremo de
únicamente interacciones a segundos vecinos da lugar a la
colección de ``dos'' sistemas que no interactuan con interacción
a primeros vecinos únicamente. Por lo tanto este es un límite
que reduce una configuración desconocida, a una configuración
familiar bien entendida y que nos permite considerar un sistema en que
un tipo de interacciones predomina pero que no excluye a la otra como
una perturbación del sistema con puras interacciones. En efecto se
encontró que la dinámica de una red intermedia es algo más que
la interpolación de estos dos extremos.
También parece que la dinámica de una red con interacciones
a segundos vecinos es una buena indicadora de la dinámica de redes
con distancias más lejanas de interacción, en el sentido de que no
puede llevar a cabo interpolaciones similares sea cual sea la
distancia de interacción.
Una vez conocida la técnica matemática se trató de
encontrar algunos resultados interesantes de modelos particulares, el
primero de los cuales fue el de la red cíclica (anillo), en los
cuales los efectos superficiales no existen, lo que permite poder
establecer un contraste con respecto a redes con interacciones a
vecinos lejanos, en que los efectos superficiales son
considerablemente más importantes. Otra vez tenemos una
correlación cerrada entre la influencia de efectos en la red y la
influencia de superficies. En una red cíclica, el espectro de
frecuencias, los eigenvectores y otras propiedades pueden ser
realmente extrapoladas de redes con interacciones a primeros vecinos,
en efecto todos los eigenvectores corresponden a ondas periódicas y
son en gran número los mismos, cualquiera que sea la distancia de
interacción, por lo que respecta a la relación de dispersión,
encontramos que es un polinomio trigonométrico, más que una simple
función trigonométrica.
Pero otra vez lo que es completamente indicativo de tendencias
generales son las redes con diferentes clases de defectos puntuales,
los defectos básicos son defectos de masas en que la masa de una
simple partícula es variada mientras que las otras masas y
resortes permanecen fijas, y defectos en resortes en que una simple
constante es variada. Más variaciones complejas pueden ser
construidas por la repetida aplicación de las variaciones básicas,
sin embargo es convenientemente útil considerar otras clases
particulares con más detalle.
Otros resultados que se obtuvieron con estos defectos puntuales,
es que existen algunos teoremas matriciales, que pueden ser empleados
para definir los cambios en el espectro de eigenvalores, o en los
eigenvectores. Pero algunas veces encontramos que estos teoremas no
han sido aplicados eficientemente, aún en el caso de interacciones a
primeros vecinos, algunos de estos son los teoremas de alternación
de eigenvalores y el de fijos, en que las frecuencias normales de una
red son empleados para establecer intervalos que tienen que contener
las frecuencias de una red relativa. Por lo tanto se obtuvieron
líimites para las frecuencias de una cadena con una
partícula adicional, lo mismo cuando los elementos matriciales
son modificados debido a la presencia de defectos puntuales y en
general debido a las condiciones de una configuración particular
como las que analizamos en el transcurso del trabajo; aunque estos
teoremas han sido conocidos y empleados para redes con interacciones a
primeros vecinos, encontramos que cuando son analizados
cuidadosamente, pueden ser usados para obtener el espectro de una
cadena dada, por interpolación entre dos simples y bien definidas
configuraciones interpretables.
Otra cosa que se desprende del análisis anterior es que,
cuando existen pocos defectos en una red, se puede estimar su efecto
acumulativo por repetidas aplicaciones de los teoremas mencionados,
sin embargo, cuando los defectos son numerosos, es generalmente más
satisfactorio estudiar a todos ellos simultáneamente; por ejemplo
podemos mencionar, una cadena desordenada en que los átomos son
mezclados al azar, o redes en las cuales sus masas varían en una
forma sistemática, por ejemplo cuando las masas de cada
partícula pueden incrementarse uniformemente de un extremo de la
cadena a el otro.
Una de las configuraciones que se analizaron y que es un ejemplo
importante de una cadena no uniforme, pero aún con una regularidad
bien definida, es la cadena diatómica en la que las partículas
tienen dos masas distintas y los átomos ligeros alternan con los
átomos pesados. El resultado mas característico y que concuerda
con la literatura es la obtención de dos bandas la acústica y la
óptica con un rango de frecuencias prohibidas en el sentido de que
no hay frecuencias normales posibles dentro de este rango y que la
propagación de ondas a través de la red en estas frecuencias es
amortiguado. Los defectos puntuales en una red diatómica, o efectos
superficiales pueden dar lugar a modos normales cuyas frecuencias
están situadas en el rango prohibido, lo cual significa que ellos
tienen que ser modos superficiales con una amplitud que es mucho mayor
cerca de la superficie del defecto pero que se atenúa
exponencialmente lejos del máximo. La generalización eventual del
estudio de defectos de átomos en una red diatómica da lugar a
información aplicable a redes poliatómicas o desordenadas.
Una cosa muy importante de hacer notar es el estudio que se hizo
del defecto de las varias condiciones a la frontera de estos
diferentes modelos, ya que en redes únidimensionales la variación
de condiciones a la frontera es una cuestión de la misma clase que
el estudio de defectos puntuales, es por esto que no recibe un
apreciable y diferente análisis, las condiciones a la frontera que
se introdujeron son con respecto al modelo de extremos fijos, el caso
del anillo y el modelo de extremos libres.
Otro concepto que fue de vital importancia en este estudio, es
el de ondas viajeras, el cual puede ser fácilmente generalizado a
redes de más dimensiones. La idea de una onda se originó del hecho
de que uno puede representar las componentes de los modos normales
(eigenvectores) como funciones trigonométricas, (senos y cosenos) de
la posición de cada partícula a lo largo de la longitud de la
cadena en vibración y al mismo tiempo la variación temporal del
desplazamiento de cada partícula es expresado en términos de
exponenciales complejas. Por otra parte un método que fue bastante
utilizado en el desarrollo de los modos normales, fue el método de
matriz de transferencia, introducido en el libro de Brillouin y
explotado sistemáticamente por Matsuda y su escuela. Este método
es idealmente conveniente para la descripción en vibraciones de
redes. La matriz de transferencia naturalmente que surge, como se
vió en el transcurso del trabajo, de expresar el polinomio
característico de la matriz de coeficientes, en las ecuaciones de
movimiento de la red en forma recursiva también mencionamos que para
el caso de interacciones a primeros vecinos la matriz de coeficientes
resultaba tridia-gonal, para el caso que tratamos resultó,
pentadiagonal cuando ellas se extienden a terceros vecinos y así
sucesivamente.
Algunos resultados importantes que se obtuvieron y que no se
mencionaron en el resumen anterior son. El hecho de que los modos
normales dependen de la suma de 
ondas viajeras, cuando hay 
interacciones entre las partículas, para el caso concreto que
estamos analizando los modos normales dependerán de 4 ondas
viajeras. De la misma forma se encontró que hay una máxima
degeneración límite ``'' presente, en la presencia de
interacciones a vecinos, por lo que respecta a este punto
únicamente se da la demostración para el caso de segundos vecinos
en este estudio, aún cuando se cuenta con la demostración para
primeros y terceros vecinos.
Otro resultado que se obtuvo que el hecho de que el ordenamiento
de las frecuencias por el número de onda, que es característico
de cadenas con interacciones a primeros vecinos se ``pierde'', en
parte porque hay números de onda que considerar, a menudo uno de
ellos será dominante, y es posible que trace tendencias en un
diagrama de dispersión, lo cual permite que en cualquier evento uno
puede analizar la estructura de los modos normales, como se hizo en la
discusión de los mismos. En estos diagramas se observa que el modo
normal de frecuencias más bajas está siempre sin nodos, (en este
caso únicamente hay una traslación de todas las partículas de
la cadena); pero cuando hay interacciones a vecinos más lejanos
predomina el segundo modo más bajo el cual puede tener el máximo
numero de nodos. Cuando 
, los resultados son debidos a la
teoría de Sturm-Lioville, además muchas de las propiedades que
se encuentran en interacciones a primeros vecinos persisten para
segundos vecinos, aunque en alguna forma modificada.
Se encontró además que los defectos puntuales producen modos
localizados de frecuencia alta. Las redes diatómicas presentaron una
banda óptica y una acústica aunque ellas pueden traslaparse en
algunas regiones y la banda óptica puede bifurcarse en otras, y
cadenas no uniformes mostraron modos localizados de frecuencias altas.
También se obtuvieron algunas desigualdades entre los modelos
analizados una de las cuales es una relación de orden entre los
eigenvalores; esto nos permite afirmar que sí ordena-mos los
eigenvalores algebráicamente y en parejas, los eigenvalores para el
caso del modelo de extremos libres siempre van a ser mayores que los
del caso cíclico y que los del caso de extremos fijos, la
comparación entre el modelo de extremos fijos y del anillo no pudo
llevarse a cabo por adición de una transformación definida, ya que
resultaba una matriz de traza cero lo cual indica que es una matriz
indefinida.
Finalmente se puede observar fácilmente que existen otros
sistemas no relacionados con estos modelos, pero que dan lugar a
matrices de bandas diagonales, como las de nuestro modelo, por lo
tanto la mayoría de nuestras conclusiones son aplicadas a todos
esos sistemas.