Apéndice A

Solución del determinante $\varepsilon$, definido como:

$$\varepsilon =\left\vert\begin{array}{cccc} \varepsilon _1... ...3 & \varepsilon _4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right\vert$$

La forma general de este determinante, está dado por el determinante de Vandermonde, esto es:

$$\Delta =\left\vert\begin{array}{ccccc} a_1^n & a_2^n & a_... ...\\ j>i\end{array}}^{\begin{array}{c}n-1\end{array}}\;(a_i-a_j)$$

lo que se quiere demostrar es que este determinante tiene la forma

$$\Delta =(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots (a_1-n)(a_2-a_3)(a_2 -a_4)\cdots (a_2-a_n)\cdots (a_{n-1}-a_n)$$

Para demostrar este resultado, nos basamos en una propiedad de los determinantes, lo cual nos permite multiplicar cualquier renglón del determinante por un escalar y sumarlo o restarlo a otro sin cambiar el valor del determinante, lo que en realidad se trata de hacer, es poner el determinante en forma diagonal, para esto es necesario que los elementos de este determinante diagonal, sean polinomios mónicos es decir, polinomios en los que el coeficiente de la potencia más alta es uno.

Multipliquemos el determinante por los coeficientes en la forma siguiente:

$$\Delta = \begin{array}{c} \\ \\ \alpha_{n-1} \\ \\ \alph... ...& a_{n+1} \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \end{array}\right\vert$$

Sumando los renglones que se multiplicaron, al primer renglón, resulta que cada elemento del primer renglón, está formado por polinomios mónicos, es decir polinomios mónicos $P_n (x)$ de grado $n$, evaluados en los puntos $a_1 ,a_2 ,\ldots ,a_{n+1}$.

Estos polinomios mónicos son de la forma.

$$P_i(a_i) =\sum_{j=0}^n \alpha_j a_i^j \mbox{\hspace{.2in}\ \hspace{.2in}} \alpha_n =1$$

Por lo tanto el determinante de Vandermonde queda:

$$\Delta =\left\vert\begin{array}{cccc} P_n(a_1) & P_n(a_2)... ... & \cdots & a_{n+1} \\ 1 & 1 & & 1 \end{array}\right\vert$$

Aplicando la misma técnica, para obtener los elementos del segundo renglón como polinomios mónicos $P_{n-1}(a_{n+1})$ de grado $n-1$ que deseamos evaluar en los puntos $a_1,a_2,\cdots,a_{n+1}$, es decir, por sumar múltiplos de los demás renglones, al segundo renglón se obtiene:

$$\Delta =\left\vert\begin{array}{cccc} P_n(a_1) & P_n(a_2)... ...) \\ \vdots & & & \\ 1 & 1 & & 1 \end{array}\right\vert$$

En general, en el $i$-ésimo renglón son construidos polinomios mónicos de grado $n-i+1$; la dimensión de la matriz es $n+1$

$$\Delta =\left\vert\begin{array}{cccc} P_n (a_1) & P_n (a_... ...& P_0 (a_2) & \cdots & P_0 (a_{n+1}) \end{array}\right\vert$$

Escojamos el desarrollo siguiente:

$$\begin{array}{ccccccr} P_n(\xi) & = & (\xi -a_2) & (\xi -a_3... ... & & &(\xi -a_{n+1}) \\ P_0(\xi) & = & & & & & 1 \end{array}$$

En este caso resulta

$$\begin{eqnarray*} P_n (a_2) & = & P_n(a_3) =\cdots =P_n(a_{n+1}) =0 \\ P_n (a... ..._{n-1} (a_2) & = & (a_2 -a_3)(a_2 -a_4)\cdots (a_2 -a_{n+1}) \\ \end{eqnarray*}$$

etc.

Por lo tanto el determinante toma finalmente la forma:

$$\Delta =\left\vert\begin{array}{cccccc} P_n (a_1) & 0 & 0... ..._1 (a_n) & 0 \\ & & & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\right\vert$$

Por lo tanto, como queda un determinante triangular, éste no es otra cosa que el producto de su diagonal principal, o sea:

$$\begin{eqnarray*} \Delta & = & P_n(a_1)\cdot P_{n-1}(a_2)\cdot P_{n-2}(a_3)\cdo... ... & \prod_{\begin{array}{c} i=1 \\ j>i \end{array}}^n (a_i -a_j) \end{eqnarray*}$$

Que es el valor tradicional del determinante de Vandermonde.