Análisis de los elementos de la matriz de movimiento en términos de matrices definidas.

Anteriormente vimos un teorema, el cual nos permite obtener un disco, cuyo centro es el valor del elemento diagonal principal y radio la suma de los valores absolutos de los demás elementos que están sobre un renglón fuera de la diagonal principal, así se tienen discos, en los cuales existe la posibilidad de tener el eigenvalor en el interior de alguno de ellos.

Lo importante del resultado que se obtiene, cuando la suma de los elementos de un renglón es cero, es no sólo que nos permite encontrar que $\lambda =0$ es un eigenvalor, sino además que los elementos en la diagonal principal son negativos, por lo cual si consideramos un plano sobre el cual se encuentre el disco, tendremos que en este caso, se encontrará en el lado izquierdo, entonces se pueden tener varios discos, si los renglones son distintos, pero todos quedarán en la mitad izquierda del plano, esto es.

Por lo tanto se tiene que cero es un eigenvalor y que todos los demás están a la izquierda del plano y en el interior del disco, como se puede apreciar del diagrama; entonces sabemos que todos los $\lambda$'s son negativos, por lo tanto se tiene que la matriz es negativa semidefinida, la cual es una condición necesaria y suficiente, que está en concordancia con el álgebra matricial, ya que se dice que una matriz simétrica es negativa semidefinida, si y solo si todos sus eigenvalores son negativos.

Por lo tanto la posición del disco depende de los signos relativos, del elemento de la diagonal principal y de los que están fuera de la diagonal principal; también los cambios en los signos relativos dan lugar a los cambios en los eigenvalores.

Por otra parte la estabilidad de una red (ver Ref. [6]), se supone que es asociada con una forma cuadrática positiva definida para la energía de tensión. En el caso de un continuo unidimensional que es el que estamos analizando, la condición de estabilidad degenera al requisito simple de un módulo de Young positivo, el cual puede expresarse como función de las constantes de fuerza $k$ y $k$' o bien por los elementos matriciales $a_0 ,a_1$ y $a_2$; esto es llevado a cabo por expander los desplazamientos en series de Taylor y retener términos cuadráticos comparados con la distancia interatómica.

En nuestro modelo, se puede demostrar que el módulo de Young depende de los signos relativos de $a_1$, esto es, en el caso de que $a_1 >0$ se dice que la red es estable. Cuando $a_2 =-a_1$ se tiene un equilibrio crítico, ya que este en este caso las fuerzas atractivas y repulsivas casi serán iguales (esto pasa en la frontera). En el caso de que $a_0 <0$ existe mayor atracción con lo cual hay mayor estabilidad, entonces $a_0$ tiene que ser negativo, esto puede deducirse de condiciones físicas, en el sentido de la clase de equilibrio que se tenga, es decir, elástico o estático.

Por lo tanto lo anterior depende del hecho de que, los elementos de un renglón sumados o restados nos hagan cero el renglón, esto no se puede asegurar completamente en todos los modelos, pero lo que sí se puede asegurar es que todos los eigenvalores van a subir o bajar, particularmente se puede aplicar al caso cuando la frontera es suave o dura, se puede pensar que debido a la falta de átomos de un lado de la cadena o de un sólido en general, las fuerzas de atracción son más grandes (esto es conocido por resultados experientales), ya que si las fuerzas repulsivas fueran las mayores, tendríamos una frontera difusa, podemos suponer que en la frontera la superficie es más densa lo cual quiere decir que $a_1^{\prime}>a_1$ y que $a_2^{\prime}>a_2$; por lo tanto va a ser necesario modificar la matriz por el cambio de estos tres elementos, e igualmente si se desea hacer el cambio en la frontera opuesta; entonces vamos a considerar una cadena con interacciones, en la forma siguiente

Por lo tanto tendremos una submatriz $3\times 3$ en cada una de las esquinas, representando la perturbación en sus extremos respectivos. Con objeto de simplificar el álgebra únicamente consideraremos la perturbación en un extremo, esto es.

La matriz sin perturbar

$$M=\left[\begin{array}{ccccccc} a_0 & a_1 & a_2 & & & & \\... ...1 & a_2 & \\ \vdots & & & & & & \ddots \end{array}\right]$$

Por lo tanto la submatriz con la perturbación tiene la forma

$$M' =\left[\begin{array}{ccc} -a_1^{\prime}-a_2^{\prime} &... ...} & -a_2^{\prime} -a_1^{\prime\prime} \\ \end{array}\right]$$

Para obtener la ecuación característica y por lo tanto los eigenvalores hagamos: $a_1^{\prime}=a;\; a_2^{\prime}=b$ y $a_1^{\prime\prime}=c$; con lo que la ecuación característica toma la forma

$$\left\vert\begin{array}{ccc} -a-b-\lambda & a & b \\ a ... ...mbda & c \\ b & c & -b-c-\lambda \end{array}\right\vert = 0$$

$$\lambda [\lambda^2 +2\lambda (a+b+c)+3(ab+bc+ac)] =0 \rightarrow$$

$$\lambda_1 = 0$$

$$\lambda_{2,3} = -(a+b+c)\pm \sqrt{a^2 +b^2 +c^2 -(ab+bc+ac)}$$ (10.10)

Ahora lo que nos interesa, es ver si estos eigenvalores $\lambda_{2,3}$ son negativos, para esto calculemos explícitamente

$$(a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)$$

Por lo tanto:

$$\begin{eqnarray*} (a+b+c)^2 & > & a^2 +b^2 +c^2, \qquad \mbox{\hspace{.2in}cuan... ...2in}} ab+ac+bc>0 \\ (a+b+c)^2 & > & a^2 +b^2 +c^2 -(ab+bc+ac) \end{eqnarray*}$$

Resultando finalmente que

$$\vert a+b+c\vert >\sqrt{a^2 +b^2 +c^2 -(ab+ac+bc)}$$

Analizando este resultado, junto con (10.10) vemos que los eigenvalores $\lambda_{2,3}$ son negativos, lo cual quiere decir que la matriz $M'$ para este caso es negativa semidefinida. Por lo tanto tal situación siempre tiene que ocurrir, cuando la suma-renglón es cero y los elementos son positivos.

Supongamos que hacemos los resortes extremos más fuertes al sumar esta matriz negativa semidefinida, entonces lo que va a ocurrir es que únicamente podemos bajar los eigenvalores, (elevándose las frecuencias) como es apropiado a resortes duros, esto es, a superficies duras. Recíprocamente, una superficie suave bajará las frecuencias, lo que corresponde a que los eigenvalores (negativos) crezcan.

También notamos que la misma consideración se aplica a la interacción de primeros y segundos vecinos; si $a_2$ es positivo todas las frecuencias crecerán.

Prosiguiendo con esta idea, que pasará si $\lambda$ es medida en unidades de $4(a_1+a_2)$ y $a_2$ se incrementa, entonces $\xi=-\lambda/4(a_1+a_2)$ puede o no crecer, o puede anularse, tal consideración no se aplica al interior de la cadena en donde $a_1$ y $a_2$ peramencen constantes, cuando las $a$'s extremas se modifican.

Por lo tanto hasta cierto límite se puede aplicar el teorema de comparación de eigenvalores.

Así cuando se hacen cambios en las dos esquinas opuestas a la diagonal, pero sin modificar los términos del interior, lo cual da lugar a que el disco quede centrado en el origen, (en lugar de estar situado en el semiplano negativo) lo que implicará que algunos eigenvalores resulten positivos y otros negativos, entonces las frecuencias en un caso van a bajar y en el otro van a subir, pero en partes distintas del espectro; como vemos va a existir una gran cantidad de consideraciones, así que el cambio de un elemento de la matriz, nos da la posibilidad de un aumento de algunos eigenvalores y la disminución de otros, dependiendo del grado de la perturbación; si ajustamos el elemento diagonal, al mismo tiempo, podemos darnos cuenta que todos los eigenvalores van en la misma dirección, lo cual es razonable, ya que sumar a la diagonal, equivale a sumar algo a los eigenvalores.

Siguiendo con esta idea, veamos que pasa si cambiamos los elementos de la frontera de la diagonal principal, esto es

$$\left[\begin{array}{cccccc} a_0 & a_1 & a_2 & & \cdots & ... ...1 - a_2 \\ a_0^{\prime\prime} & = & -2a_1 - a_2 \end{array}$$

para poder emplear el criterio, de que las suma de los elementos a través de un renglón sea cero, es necesario suponer que la submatriz $3\times 3$ que vamos a analizar, tiene la forma siguiente:

$$\left[\begin{array}{ccc} a_0^{\prime} & a_1 & a_2 \\ a_... ..._2 \\ a_1 & -a_1 & 0 \\ a_2 & 0 & -a_2 \end{array}\right]$$

Calculando la ecuación característica, con objeto de determinar el tipo de matriz, resulta:

$$\left\vert\begin{array}{ccc} -a_1-a_2-\xi & a_1 & a_2 \\ ... ...\end{array}\right] =\xi (\xi^2 +2\xi(a_1+a_2) +3a_1a_2) = 0$$

Por lo tanto las raíces serán:

$$\begin{eqnarray*} \xi_1 & = & 0 \\ \xi_{2,3} & = & -(a_1+a_2)\pm \sqrt{(a_1-a_2)^2 +a_1 a_2} \end{eqnarray*}$$

Por un álgebra similar a la anterior resulta que

$$\vert a_1 +a_2\vert >\sqrt{a_1^2 +a_2^2 -a_1 a_2}$$

O sea podemos concluir que nuestra matriz es negativa semidefinida. Por lo tanto tenemos el arreglo matricial siguiente

$$\left[\begin{array}{cc} 0 & \\ & \mbox{Cadena libre} \\ ... ... \mbox{part\'{\i}culas} \\ \\ \\ \end{array}\right]\;\;\;$$

(negativa semidefinida)

Desde luego que la matriz suma es negativa, además cada frecuencia de la cadena con $(n)$ partículas es mayor que la correspondiente frecuencia de la cadena con $(n-1)$ partículas, resultado análogo al teorema de alternación de eigenvalores (Ref. [15]), gráficamente tendremos

Si empleamos el teorema de alternación de eigenvalores para una submatriz, tendremos

Sin embargo, el teorema sólo no nos permite simultáneamente modificar los elementos matriciales diagonales, así que la matriz negativa semidefinida es necesaria después de todo. Sin embargo, eso nos da una desigualdad, pero no confina el intervalo (podríamos obtener el mismo teorema, aún con una enorme perturbación, así que allí puede no existir confinamiento).

Por lo tanto el teorema en forma gráfica tiene la forma