Apéndice F

Obtención de la matriz de movimiento para la cadena diatómica. Para el caso de interacciones a segundos vecinos, las ecuaciones de movimiento están dadas por:

$$\begin{eqnarray*} m_1x_1 & = & kx_2 +k'x_3 -2x_1 (k+k') \\ m_2x_2 & = & kx_3 ... ...nx_n & = & k'x_{n+2} +kx_{n+1} -2x_n(k+k') +kx_{n-1} +k'x_{n-2} \end{eqnarray*}$$

Que en forma compacta se reduce:

$$MX = KX$$ (F.1)

En donde $K$ es una matriz pentadiagonal de la forma

$$K = \left[\begin{array}{ccccccc} a_0 & a_1 & a_2 & & & & \... ...dots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right]$$

Con:

$$a_1 = k;\mbox{\hspace{.2in}\hspace{.2in}} a_2=k' \mbox{\hspace{.2in} y \hspace{.2in}} a_0=-2(a_1+a_2)$$

Por otra parte como nos interesa que la matriz de movimiento para el caso de una cadena diatómica resulte simétrica, ya que en esta forma los cálculos numéricos se facilitan bastante, entonces para lograrlo es conveniente definir la transformación

$$Y=\sqrt{M} X\;\rightarrow\; Y=\sqrt{M}X$$ (F.2)

multiplicando (F.1) por la izquierda por $M^{-1}$, resulta:

$$X=M^{-1}KX$$

multiplicando esta última ecuación por $\sqrt{M}$ y por la identidad resulta finalmente

$$\sqrt{M} X =\sqrt{M}M^{-1} K\sqrt{M}^{\;-1} \sqrt{M} X$$

aplicando finalmente (F.2) resulta:

$$Y=\sqrt{M}^{\;-1} \; K\sqrt{M}^{\;-1} Y$$

En donde la matriz $\sqrt{M}^{\;-1}K\sqrt{M}^{\;-1}$ resulta ser completamente simétrica, esto es, supongamos que $\sqrt{M}^{\;-1}$ es una matriz diagonal de la forma

$$\sqrt{M}^{\;-1} =\left[\begin{array}{cccccc} \frac{1}{\sq... ... \vdots & & & & & \\ 0 & & & & \ddots & \end{array}\right]$$

Aplicándose a la matriz $K$ por ambos lados resulta

$$\left[\begin{array}{ccccc} \frac{1}{\sqrt{M}} & & & & \\ ... ...frac{1}{\sqrt{M}} & & \\ & & & & \ddots \end{array}\right] =$$

$$=\left[\begin{array}{ccccccc} \frac{a_0}{m} & \frac{a_1}{\... ...dots & & & & & & \vdots \\ 0 & & & & & & \end{array}\right]$$

Que es finalmente la matriz de movimiento de una cadena lineal de masas alternantes con interacciones a segundos vecinos.