Apéndice E

Los eigenvalores que dan las frecuencias de los modos normales, para la vibración de una cadena, con interacciones a segundos vecinos y con ambos extremos fijos están determinados por los ceros de:

$$\frac{1}{16(Z_2-Z_1)^2} \left\vert \begin{array}{cc} U_{m... ...2}(Z_1) & U_{m+1}(Z_2)-U_{m+1}(Z_1) \end{array}\right\vert = 0$$ (E.1)

Sin embargo, para simplificar el álgebra, transformamos más esta expresión. Es conveniente ignorar el denominador $16(Z_1-Z_2)^2$, y llamar al determinante principal $D_m(Z_1,Z_2)$; además es claro que $D_m$ es siempre divisible por $(Z_2-Z_1)^2$, desde luego que sus elementos son diferencia de polinomios idénticos en $Z_1$ y $Z_2$. Por lo tanto y una diferencia de sus $i$-ésimas potencias es siempre divisible por $(Z_2-Z_1)$, (incluyendo $i=0$), como cada una de las dos columnas producen tales factores, entonces el determinante como un todo es divisible por su cuadrado.

Entonces

$$\begin{eqnarray*} D_m (Z_1,Z_2) & = & \; \; \; \left\vert \begin{array}{cc} U_... ...m+2}(Z_1) \\ U_{m+2}(Z_2) & U_{m+1}(Z_1) \end{array}\right\vert \end{eqnarray*}$$

Para reducir los determinantes de la primera línea empleamos las identidades

$$\begin{eqnarray*} U_{m+3}(Z)U_{m+1}(Z) & = & \frac{1}{2(Z^2-1)} [T_{2m+6}(Z)-T_... ...m+2}(Z)U_{m+2}(Z) & = & \frac{1}{2(Z^2-1)} [T_{2m+6}(Z)-T_0(Z)] \end{eqnarray*}$$

Restando estas dos indentidades resulta que

$$U_{m+3}(Z)U_{m+1}(Z) -U_{m+2}(Z)U_{m+2}(Z)= \frac{T_0(Z) -T_2(Z)}{2(Z^2-1)} = -1$$

ya que

$$\begin{eqnarray*} T_0(Z) & = & 1 \\ T_2(Z) & = & 2Z^2-1 \end{eqnarray*}$$

Por lo tanto cada uno de los determinantes de la primera línea tiene el valor $-1$ entonces

$$D_m(Z_1,Z_2)=-\left[2+ \left\vert \begin{array}{cc} U_{m+... ...\\ U_{m+2}(Z_2) & U_{m+1}(Z_1) \end{array}\right\vert \right]$$ (E.2)

Usando la relación de recursión

$$U_{n+1}(Z) =2ZU_n(Z)-U_{n-1}(Z)$$ (E.3)

y aplicándola a los determinantes de $D_m(Z_1,Z_2)$ tenemos

$$\left\vert \begin{array}{cc} U_{m+3}(Z_1) & U_{m+2}(Z_2) \\ U_{m... ...) \\ 2Z_1U_{m+1}(Z_1)-U_{m }(Z_1) & U_{m+2}(Z_2) \end{array}\right\vert \qquad$$

$$\qquad$$

$$\qquad \qquad \; \; \; = \; 2Z_1 \left\vert \begin{array}{cc} U_{... ...{m+2}(Z_1) & U_{m+1}(Z_1) \\ U_{m+1}(Z_2) & U_{m }(Z_1) \end{array}\right\vert$$ (E.4)

De la misma forma:

$$\left\vert \begin{array}{cc} U_{m+3}(Z_2) & U_{m+2}(Z_1) \\... ...+1}(Z_2) \\ U_{m+1}(Z_1) & U_{m }(Z_2) \end{array}\right\vert$$ (E.5)

Sumando (E.4) y (E.5) y sustituyendo en (E.2) resulta:

$$D_m(Z_1,Z_2)=-\left[2+2(Z_1-Z_2) \left\vert \begin{array}... ...2) \end{array}\right\vert +\{ -2-D_{m-1}(Z_1,Z_2)\} \right]$$

$$D_m(Z_1,Z_2)=D_{m-1}(Z_1,Z_2)-2(Z_1,Z_2) \left\vert \begi... ...2}(Z_2) \\ U_{m+1}(Z_1) & U_{m+1}(Z_2) \end{array}\right\vert$$ (E.6)

Que es una relación de recursión para $D_m$, pero es necesario evaluar explicítamente el determinante que ocurre en él, esto es:

$$\Delta_m = \left\vert \begin{array}{cc} U_{m+2}(Z_1) & U_{m+2}(Z_2) \\ U_{m+1}(Z_1) & U_{m+1}(Z_2) \end{array}\right\vert$$

Empleando (E.3) y factorizando el determinante resulta

$$\Delta_m = 2U_{m+1}(Z_1)U_{m+1}(Z_2) \left\vert \begin{array}{cc} Z_1 & Z_2 ... ...{cc} U_{m+1}(Z_1) & U_{m+1}(Z_2) \\ U_m(Z_1) & U_m(Z_2) \end{array}\right\vert$$

$$\Delta_m = 2U_{m+1}(Z_1)U_{m+1}(Z_2)(Z_1-Z_2) +\Delta_{m-1}$$ (E.7)

Puesto que $U_0=1,\, U_1=2Z,\, U_2=4Z^2-1$, resulta que las condiciones terminales de $\Delta_m$ son.

$$\Delta_{-1} = 2(Z_1-Z_2)$$

$$\Delta_0 = 2U_1(Z_1)U_1(Z_2)(Z_1-Z_2)+2U_0(Z_1)U_0(Z_2)(Z_1-Z_2)$$

$$\Delta_1 = 2U_2(Z_1)U_2(Z_2)(Z_1-Z_2)+\Delta_0$$

$$\cdots$$

$$\Delta_m = 2(Z_1-Z_2)\sum_{k=0}^{m+1} U_k(Z_1)U_k(Z_2)$$ (E.8)

Donde $\Delta_m$ es conocida como fórmula de Christoffel-Darboux (ref. [16]). Por lo consiguiente podemos encontrar de (E.6) que

$$D_m =D_{m-1}(Z_1,Z_2) -2(Z_1-Z_2)\Delta_m$$

usando (E.8)

$$\begin{eqnarray*} D_m & = & D_{m-1}-4(Z_1-Z_2)^2 \sum_{k=0}^{m+1} U_k(Z_1)U_k(Z... ... & -4(Z_1-Z_2)^2 \sum_{p=0}^{m+1} \sum_{k=0}^p U_k(Z_1)U_k(Z_2) \end{eqnarray*}$$

ya que el término $D_{m-(m+1)}$ está incluido en $p=0$ no se pone. El resultado de la doble suma es que $U_{m+1}(Z_1)U_{m+1}(Z_2)$ ocurre una vez, $U_m(Z_1)U_m(Z_2)$ ocurre dos veces, etc., y $U_0(Z_1)U_0(Z_2)$ ocurre $m+2$ veces, por lo tanto

$$D_m =-4(Z_1-Z_2)^2 \sum_{k=0}^{m+1} (m+2-k)U_k(Z_1)U_k(Z_2)$$

Como nosotros estamos interesados en $1/16(Z_2-Z_1)^2D_m$, entonces el polinomio característico está finalmente dado por:

$$x_m(Z_1,Z_2) =-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{m+1}(m+2-k)U_k (Z_1)U_k(Z_2)$$