Eigenvectores de la matriz de movimiento (modos normales).

Ahora lo que nos interesa es encontrar una solución general al sistema de ecuaciones (2.7), para lo cual introducimos el concepto de eigenvector en la forma siguiente:

Supongamos que $X$ es un vector arbitrario y que es eigenvector de la matriz $M$ con lo cual llegamos al siguiente sistema de eigenvalores.

$$\frac{d^2x}{dt^2} = MX = \lambda X$$ (2.10)

Por tratarse de una serie de osciladores armónicos, la hipótesis usada en esta técnica es análoga a la que se emplea en otros modelos que suponen soluciones del tipo periódico, esto es de la forma:

$$x_i = x_i(0) e^{i(\omega t-kn)}$$

Por lo tanto si el sistema de partículas es desplazado ligeramente del equilibrio y soltado, el sistema efectuará pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio con las frecuencias $\lambda_1, \lambda_2,\ldots ,$ $\lambda_n$; por lo tanto las soluciones de la matriz de movimiento son llamadas frecuencias de vibración libre o frecuencias de resonancia del sistema, pero nosotros las llamamos frecuencias características temporales, ya que nos dan la variación del movimiento por la unidad de tiempo. Por otra parte las componentes del eigenvector son llamadas, las coordenadas normales del sistema, además cada coordenada normal corresponde a una vibración del sistema involucrando únicamente una frecuencia y al conjunto de componentes de oscilación que forman el eigenvector se les conoce como modos normales de vibración; por lo tanto todas las partículas en cada modo vibran con la misma frecuencia y fase, además sus amplitudes relativas estarán determinadas por la matriz que diagonaliza a $M$ es decir, la matriz cuyas columnas son los eigenvectores de la matriz de movimiento $M$.

Por lo tanto el completo movimiento del sistema, es construído, por la suma de los modos normales, con un factor de peso que nos da la amplitud y fase apropiadas.

De lo anterior, podemos decir que la base de esta técnica, consiste en la diagonalización de la matriz de movimiento; además esto nos permite encontrar un método recursivo que empleamos para determinar los eigenvalores y eigenvectores.