Eigenvalores $\lambda$ (frecuencias de vibración).

Para simplificar y solucionar, este sistema de ecuaciones diferenciales, denotemos la matriz de los coeficientes por $M$ y al vector columna por $x$ con lo cual resulta la forma simplificada siguiente:

$$\frac{d^2 x}{dt^2} = Mx$$ (2.7)

Como una de las formas de solucionar el sistema de ecuaciones compacto (2.7), consiste en diagonalizar nuestra matriz de movimiento $M$, lo cual se puede hacer, ya que toda matriz simétrica es diagonalizable y además tiene un conjunto ortogonal de eigenvectores; físicamente se debe confiar en este resultado, ya que es una consecuencia de la ley de Newton y de la homogeneidad simétrica de la cadena, por lo tanto calculamos.

$$U^{-1} MU = \Lambda$$ (2.8)

En donde $U$ es una matriz tal que nos diagonaliza la matriz $M$, dando como resultado una matriz diagonal $\Lambda$, cuyos elementos son los eigenvalores de $M$ y que físicamente nos representan las funciones características de las partículas llamadas también frecuencias de resonancia; además la matriz $U$ tiene como columnas los eigenvectores de $M$, estos eigenvectores no son otra cosa que los modos normales de vibración de la cadena; como se justificará posteriormente.

Por lo tanto el paso siguiente, es diagonalizar la matriz de movimiento $M$, para lo cual multiplicamos la ecuación (2.7) por $U^{-1}$ por la izquierda y el lado derecho por la matriz identidad en la forma $U^{-1} U$, esto es

$$U^{-1}\frac{d^2x}{dt^2} = U^{-1} MU^{-1} Ux$$

Además como $U$ es una matriz de coeficientes constantes, podemos multiplicar el vector de variables $x$ por la matriz $U$ esto es

$$\frac{d^2U^{-1} x}{dt^2} = U^{-1} MU^{-1} Ux$$

definiendo $Y=U^{-1}x$ y tomando en cuenta que $U^{-1}U=UU^{-1}$ y además la ecuación (2.8) resulta

$$\frac{d^2 y}{dt^2} = \Lambda Y$$

De este sistema de ecuaciones, podemos separar una para la partícula $i$-ésima, esto es

$$\frac{d^2 y_i}{dt^2} = \lambda_i y_i$$ (2.9)

La solución de esta ecuación en términos de exponenciales complejas es muy conocida, esto es:

$$y_i = e^{\pm \sqrt{-\lambda_i}\, t}$$

Por este resultado, podemos decir, que la raíz cuadrada de los eigenvalores de la matriz $M$, son precisamente las frecuencias de resonancia; por lo tanto una solución completa implica una superposición de vibraciones de todas las frecuencias permitidas.