Extensión de la definición de conjugado canónico a todo $\Phi _n^{(1)}$

Ahora regresemos a nuestro mapeo conjugado canónico.

$$\begin{eqnarray*} T_{q_i} & = & p_i \\ T_{p_i} & = & - q_i \end{eqnarray*}$$

Si recordamos que $\{q_i, p_i\}$ es una base de $\Phi _n^{(1)}$ y los funcionales $\left\{ T_{q_i}, T_{p_i}\right\}$ una base de ${\Phi _n^{(1)}}^+$ entonces podemos encontrar una matriz que nos representa a esta función. Esta matriz es $J$

$$\begin{eqnarray*} J & = & \left[ \begin{array}{cccccc\vert cccccc} & & & & & &... ...1 & & & & & & & \\ & & & & & 1 & & & & & & \end{array}\right] \end{eqnarray*}$$

Así

$$\begin{eqnarray*} p_i & = & J q_i \\ -q_i & = & J p_i \end{eqnarray*}$$

Ahora lo que nos interesa es extender este mapeo a todo el espacio. Esto lo hacemos por medio de la siguiente definición:

$$f = \sum c_i x_i$$

entonces el conjugado canónico $\;\overline{f}$, de $f$ es

$$\overline{f} \stackrel{\rm def}{=} \sum {c_i^*} T_{x_i}$$

donde los $x_i$ son los elementos de la base.

Cabe hacer notar que el caso en que nuestro campo de escalares sea real, entonces la matriz $J$ seguirá representando a nuestra transformación. En el caso complejo no sucede así, ya que el mapeo conjugado canónico no es un mapeo lineal, por aparecer un conjugado complejo.

Sin embargo, en cualquiera de estos dos campos es posible ver que

$$\{f,g\} = -(f^*,Jg)$$

Remarcando que $f$, $g$ pertenecen a $\Phi _n^{(1)}$ entonces $\{f,g\}$ es un elemento de nuestro campo de escalares, cosa que puede no suceder si tenemos otro espacio vectorial.

Así hemos encontrado una matriz tal que en $\Phi _n^{(1)}$ el paréntesis de Poisson puede ser sustituido por un producto interno.