Contenido

• Los paréntesis de Poisson en la mecánica hamiltoniana
  • Las ecuaciones de Hamilton en su forma matricial
  • Transformaciones canónicas
  • Transformaciones infinitesimales
  • Axiomas de los paréntesis de Poisson
  
  
• Los paréntesis de Poisson como una funcional bilineal alternante para el espacio fase
  • Definición de y de conjugado canónico
  • Sobre el espacio dual
  • Extensión de la definición de conjugado canónico a todo
  • Un producto interno, en base a los paréntesis de Poisson
  • Construcción de una nueva base canónica
  • Espacios de polinomios homogéneos de grado mayor que uno
  
  
• Operadores definidos, sobre el espacio fase, por los paréntesis de Poisson
  • operando sobre
  • Sobre los eigenvectores
  • Propiedades de los operadores normales y hermitianos
  
  
• como un álgebra de Lie
  • Algunas definiciones y propiedades
  • Representación de Algebras de Lie
  • Subálgebras de Cartan
  • Diagramas de peso y algunos ejemplos
  
  
• Algunos resultados y consideraciones
• Resumen
• Geometrías Simpléctica y Ortogonal
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• Bibliograf´ia
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INTRODUCCION

En los cursos de mecánica hamiltoniana, los paréntesis de Poisson son introducidos con el objeto de dar un criterio para reconocer las transformaciones canónicas y para discutir el concepto de transformaciones infinitesimales de contacto. Los axiomas con que cumplen los paréntesis de Poisson siempre son observados, porque los conmutadores en la mecánica cuántica cumplen con los mismos axiomas y usando esta relación la transición entre los formalismos canónicos de las dos materias, es facilmente realizable. Esto último es un incentivo más para llevar a cabo un análisis cuidadoso del papel y las propiedades de los paréntesis de Poisson.

En un contexto tan general se deben de considerar los parénteisis de Poisson de funciones completamente arbitrarias. Pero si nos retringimos a los espacios vectoriales de polinomios homogéneos de grado $k$, $\Phi _n^{(k)}$, formados de $n$ coordenadas y sus momenta, y particularmente a los espacios $\Phi _n^{(1)}$ y $\Phi _n^{(2)}$, los axiomas que satisfacen los paréntesis de Poisson nos dan resultados muy interesantes sobre la geometría del espacio fase y de sus transformaciones lineales.

Los resultados mencionados, se deben a que en primer lugar los paréntesis de Poisson definen una seudométrica para el espacio fase, $\Phi _n^{(1)}$.

Una ``métrica'' de este tipo define una geometría la cual es en muchas ocasiones completamente diferente a la geometría definida por una métrica ortogonal ordinaria, a la cual uno está acostumbrado. Uno puede encontrar estos conceptos tratados desde el punto de vista matemático en el libro de Artin, Geometric Algebra [1].

Matemáticamente hablando, una seudométrica es una funcion bilineal alternante, definida sobre nuestro espacio fase de dimensión $2n$. Sin embargo podemos definir un producto interno, en este espacio, de manera usual en que se hace en cualquier otro espacio vectorial, donde la métrica ortogonal que nos es familiar se define como la suma de los cuadrados de las coordenadas.

La interrelación entre estas dos métricas sirve para iluminar la geometría, muy peculiar, del espacio fase; la cual incluye su característica separación en ``coordenadas y momenta''.

Mientras que el espacio fase, $\Phi _n^{(1)}$, debe su geometría característica a la interrrealación que hay entre dos formas biliniales, una definida por los paréntesis de Poisson y la otra debida a la definición de distancia por medio de una suma de cuadrados, el espacio de polinomios homogéneos de segundo grado es cerrado, con respecto a la formación de los paréntesis de Poisson, de dos miembros cualesquiera de él.

Dado que los axiomas que satisfacen los paréntesis de Poisson incluyen a aquellos que definen un álgebra de Lie, el resultado de la cerradura de $\Phi _n^{(2)}$, es que este espacio es también un álgebra de Lie.

La teoría de las álgebras de Lie y sus clasificaciones se pueden encontrar en el libro de Jacobson, Lie Algebras [2] en donde se puede, por comparación, observar que $\Phi _n^{(2)}$ forma una álgebra de Lie isomorfa a la clasica álgebra de Lie simple $C_n$. Esta álgebra es la de los generadores infinitesimales del grupo simpléctico $S_p (n)$, el cual es el grupo de todas aquellas transformaciones lineales que dejan invariante una forma antisimétrica en un espacio de dimensión $2n$.

Además de la estructura de álgebra de Lie con la que está dotado $\Phi _n^{(2)}$, podemos ver que este espacio se puede considerar como un álgebra de transformaciones lineales del espacio fase en si mismo, por considerar el paréntesis de Poisson, $\left\{f,g\right\}$ donde $f\in \Phi_n^{(2)}$ y $g\in \Phi_n^{(1)}$, para $f$ fijo. Una transformación de este tipo es lineal y por tanto se le puede expresar por medio de una matriz. Más generalmente si $f$ y $g$ son polinomios homogéneos de grado $m$ y $n$ respectivamente el paréntesis de Poisson $\left\{f,g\right\}$ es un polinomio homogéneo de grado $m+n-2$. De esta manera cuando $g$ pertenece a $\Phi _n^{(2)}$ y $f$ es miembro de cualquier otro espacio homogéneo $\Phi _n^{(k)}$, el paréntesis de Poisson $\left\{g,f\right\}$ será de grado $k$. Entonces los elementos de $\Phi _n^{(2)}$ no solo definen mapeos lineales de $\Phi _n^{(k)}$ en si mismo, representables por matrices cuadradas, sino que además estas matrices son automáticamente una representación del álgebra de Lie $\Phi _n^{(2)}$.

Ya que tenemos una representación de $\Phi _n^{(2)}$ en términos de matrices cuadradas, podemos aplicarle la teoría de éstas tal como se encuentra en los libros de Halmos [3] o Gel'fand [4].

Las preguntas típicas que pueden ser discutidas son: ¿cuando los polinomios involucrados corresponden a un operador normal o a uno hermitiano?, ¿las formas canónicas matriciales implicaran una correspondencia con una forma canónica polinomial de $\Phi _n^{(2)}$?.

El resultado principal en este sentido es el hecho de que para un operador normal, los eigenvalores deben ocurrir en parejas negativas, cuyos eigenvectores son conjugados con respecto a la seudométrica. Además asociado con cada operador normal hay conjuntos de operadores isomorfos a los cuaterniones; para una seudométrica, este es el análogo de la resolución de la identidad la cual está asociada con cada operador normal con respecto a una métrica ortogonal.

La forma canónica polinomial para un operador de $\Phi _n^{(2)}$ es la de una suma de cuadrados absolutos, esta terminología se refiere al producto de un polinomio por su conjugado. Además las eigenfunciones del operador, cuando se le considera operando sobre un espacio de un grado dado, determinan todas las eigenfunciones en un espacio de grado mayor. Estos resultados se pueden usar para escribir el polinomio en una forma factorizada útil y también para caracterizar el Kernel del polinomio considerado como operador.

Se ven dos de las aplicaciones principales de estos resultados a la mecánica hamiltoniana. El resultado de que los eigenvalores de un operador normal siempre ocurren en parejas negativas ha sido explotado por Dulock y McIntosh [5] para construir constantes de movimiento y operadores simétricos para el oscilador armónico y otros sistemas que poseen hamiltonianos cuadráticos. Este trabajo da a esta construcción una perspectiva más general. Pero ya antes se había observado un resultado similar a este, Poincare [6], al discutir la ecuación diferencial lineal, que se debe satisfacer, para perturbaciones de una órbita en mecánica hamiltoniana notó que los exponenetes característicos, los cuales eran los eigenvalores de la matriz de coeficientes de la ecuación diferencial, ocurrian en parejas negativas, Birkhoff [7] y Whittaker [8] incluyen en sus libros este resultado, Courant y Snyder [9], han usado el mismo aparejamiento, así como la naturaleza simpléctica de la matriz de coeficientes en un sistema hamiltoniano de ecuaciones para estudiar el movimiento de una partícula cargada en el campo magnético de un sicrotón de gradiente alternante.

En los últimos diez años, ya han aparecido algunos libros sobre mecánica clásica que mencionan explícitamente las transformaciones simplécticas como el libro de Corben y Stehle [10] y otros que también hacen mención al teorema de parejas para los eigenvalores como Siegel [11].

El teorema de las parejas ha sido bastante utilizado en otros contextos, las referencias se encuentran en un artículo de McIntosh [12].

Por otro lado la monografía de Mackey [13] sobre los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica menciona la naturaleza simpléctica de las transformaciones canónicas en una forma explícita, lo mismo es hecho en un artículo posterior debido a Jost [14]. En el quinquenio presente es quizás cuando más se ha escrito sobre este punto como se puede ver en el tratado de mecánica celestial de Pollard [15] y en algunos artículos [16] [17] . Es por tanto factible que el concepto de transformación simpléctica sea usado cada vez más junto con las ideas que circulan a su alrededor.

La presencia de parejas negativas de eigenvalores, además de su relación con la existencia de constantes de movimiento, está muy relacionada al conjunto de cuaterniones asociados con cada operador normal. Este conjunto está compuesto de operadores los cuales en el sistema de coordenadas canónico, corresponden a la inversión del tiempo, a la inversión del espacio y al operador conjugación. La naturaleza particular de anticonmutación de estos operadores es suficiente para asegurar la existencia de parejas negativas de eigenvalores. Este es en el que se basa el razonamiento del artículo de referencia [5]. Así la simetría del espacio-tiempo se apoya en la forma hamiltoniana de las ecuaciones de movimiento.

En este trabajo examinamos estos puntos en detalle, comenzando con un repaso del álgebra lineal y teoría de matrices necesaria en las dos áreas de la mecánica clásica en las que los paréntesis de Poisson juegan un papel. Es decir, en la discusión de transformaciones canónicas y en la descripción de transformaciones de contacto infinitesimales.

Una cosa importante, es que prácticamente solo se ha necesitado un cierto conocimento de los resultados más generales de la teoría de espacios vectoriales de dimensión finita el concepto de espacio dual y las propiedades de los operadores normales y de los hermitanianos.