Un producto interno, en base a los paréntesis de Poisson

Nos preguntamos si podemos definir un producto interno como los paréntesis de Poisson directamente, es decir si

$$\phi(f,g) = \{f,g\}$$

cumple con los axiomas:

$$\begin{array}{crclc} 1) & \phi(f,f) & \ge & 0 \qquad \qquad ... ... + \beta h) & = & \alpha\phi(f,g)+\beta\phi(f,h) & \end{array}$$

La contestación es no, porque

$$\begin{array}{ccccccc} \{p_i,p_i\} & = & \{q_i,q_i\} & = & 0 & ;& \forall p_iq_i \end{array}$$

Pero si ahora definimos la funcional lineal $\psi$ de la manera:

$$\psi(f,g) = \{f,\overline{g}\}^*$$

tendremos que $\psi$ es un producto interno. La verificación de esto es muy fácil, tan solo por aplicar varias veces las propiedades de los paréntesis de Poisson a

$$\begin{eqnarray*} f & = & \sum c_iq_i+c_{-i}p_i \\ \overline{f} & = & \sum c_i^*p_i-c^*_{-i}q_i \\ g & \mbox{ y } & \overline{g} \end{eqnarray*}$$

y recordando que

$$\begin{array}{ccccc} \{p_i,p_k\} & = & \{q_i,q_k\} & = & 0\\... ...\} & = & \delta_{ij} & & \\ & = & -\{q_i,p_k\}& & \end{array}$$

Algo muy conveniente es averiguar la relación que guardan los productos internos, hasta ahora definidos, los cuales han sido denotados por $( , )$ y por $(( , ))$.

Pero antes veamos el siguiente lema

Lema 1.-

$$\overline{x} = Jx^*$$

tomemos

$$x=\sum c_iq_i + c_{-i}p_i$$

entonces x, como eneada está representada por

$$x = \left[\begin{array}{c} C_1\\ C_2 \\ \vdots \\ C_n \\ C_{-1} \\ C_{-2}\\ \vdots \\ C_{-n} \end{array}\right]$$

$$\overline{x} = \sum {c_i}^*p_i - c^*_{-i}q_i$$

$$\overline{x} = \left[\begin{array}{c} -C_{-1}^* \\ -C_{-2}^... ...}^* \\ C_1^* \\ c_2^* \\ \vdots\\ C_n^* \end{array}\right]$$

Pero esto es lo mismo que buscar una matriz tal que a la mitad inferior de

$$\left[\begin{array}{c} C_1^* \\ C_2^* \\ \vdots \\ C_n^* \\ C_{-1}^* \\ C_{-2}^* \\ \vdots \\ C_{-n}^* \end{array}\right]$$

lo suba cambiándole el signo y a la parte superior simplemente la baje, pero esto hace una matriz de la forma

$$\left[ \begin{array}{cccccc\vert cccccc} & & & & & & -1 & &... ...& & & & & & & \\ & & & & & 1 & & & & & & \end{array} \right]$$

que es precisamente $J$ multiplicando a $x$, por lo tanto

$$\overline{x} = Jx^*$$

Corolario.- Si M es una transformación lineal, entonces

$$\overline{MX} = J M^* X^*$$

$$\overline{MX} = J {(MX)}^*$$

por el lema 1, entonces

$$\overline{MX} = J M^* X^*$$

Regresemos a los productos internos

$$((x,y)) \stackrel{\rm def}{=} \{x,\overline{y}\}^*$$

pero

$$\overline{y} = Jy^*$$

por lo tanto

$$((x,y)) = \{x, Jy^*\}^*$$

pero

$$\{f,g\} = -(f^*,Jg)$$

Así

$$((x,y)) = - (x^*,JJy^*)^*$$

y como $j^2=-I$.

$$((x,y)) = -(x^*,-y^*)^* = (x^*,y^*)^* = (x,y)$$

en resumen

$$((x,y)) = (x,y)$$

La operación de conjugar canónicamente, es una operación semi-involutoria ya que si

$$\begin{eqnarray*} f & = & \sum c_iq_i+c_{-i}p_i \\ \overline{f} & = & \sum c^... ...^*_{-i}p_i \\ & = & - \sum c_iq_i+ c^*_{-i} p_i \\ & = & -f \end{eqnarray*}$$

Así

$$\overline{\overline{f}} = - f$$