Subálgebras de Cartan

En el párrafo anterior hemos escrito la frase especie de conjunto maximal, entre comillas porque realmente se presentan algunas dificultades las cuales son resueltas por hacer mucho más precisa, pero un poco más complicada, la definición del conjunto de operadores que queremos.

Debido a lo anterior introducimos el concepto de subálgebra de Cartan ${\cal A}$

1. ${\cal A}$ será una subálgebra nilpotente.
2. ${\cal A}$ debe ser su propio normalizador.
3. Todos los elementos de ${\cal A}$ conmutan entre sí.
4. Todos los elementos de ${\cal A}$ son normales.

Aquí podemos menciónar que en nuestra definición el inciso 3 es redundante ya que si vemos el libro de Jacobson [2] veremos que el tercero es una implicación del primero ya que la nilpotencia implica que $i({\cal A})=2$. Donde $i({\cal A})$ significa, índice de ${\cal A}$, el cual es el menor natural $m$ tal que

$${\cal A}^m=(0)$$

es decir, $m$ es el primer natural que nos asegura que ${\cal A}$ es nilpotente.

El que $i({\cal A})=2$ a su vez implica $[x,y]=0$ para toda $x$, $y$ que pertenecen ${\cal A}$. Lo cual no es más que el tercer inciso.

El primer inciso es también una consecuencia de los dos primeros. Que el conjunto maximal de operadores conmuten entre si no es lo mismo que la subálgebra de Cartan nos lo prueba el ejemplo dado en el apéndice B.

El que ${\cal A}=N({\cal A})$ nos asegura que tenemos el conjunto apropiado, ya que si dos operadores conmutan

$$[a,b]=0$$

podemos pensar de uno de ellos que es eigenfunción del otro con eigenvalor cero. Por tanto si $c\notin{\cal A}$, no puede ser eigenfunción de todos los elementos de $\bf a$ con eigenvalor cero, porque si así fuera $\bf c$ pertenecería a ${\cal A}$, en este sentido será ``maximal''.

Demos un ejemplo, los operadores de momentum angular.

$$L=((l_x,l_y,l_z))$$

los cuales tienen la siguiente tabla de conmutacíon:

$$\begin{array}{c\vert c\vert c\vert c} [\,,] & l_x & l_y & l_... ... & -l_z & 0 & l_z \\ \hline l_z & l_y & -l_y & 0 \end{array}$$

$$\mbox{dim}(L)=3$$

Notamos que si fijamos $l_z$, ningún otro elemento conmutará con este. De aquí que nos preguntemos si $((l_z))$ es la subálgebra de Cartan de $L$.

Primero tenemos que ver si $((l_z))$ es nilpotente. Llamemos $L^\prime$ a $((l_z))$, tomando dos elementos arbitarios, $\alpha l_z$ y $\beta L_z$ en $L^\prime$

$$[\alpha l_z,\beta l_z]= \alpha\beta[l_z , l_z] = 0$$

De aquí que

$$[L^\prime , L^\prime]=0$$

por tanto $((l_z))$ es nilpotente.

Ahora probaremos que $N(L^\prime ) = L^\prime$

$$N(L') = \left\{ \,l\in L\mid [\,l,r]\in L^\prime \hspace{.2in} \forall\ r\in L^\prime \right\}$$

un $l\in L$ es de la forma

$$l = a\,l_x+b\,l_y+c\,l_z$$

Así que, si $L^\prime$ no fuera su propio normalizador existiría un $l$ con $a$ y $b \neq 0$ tal que

$$[\alpha l_z,l\,]\in L^\prime,\qquad \forall\ \alpha ;$$

con $\alpha=1$ debe cumplirse

$$[\,l_z,l\,]\in L^\prime$$

por lo tanto

$$[\,l_z,l\,]= \mu\ l_z \qquad \mbox{para alg\'un } \; \mu$$

$$[l_z,a l_x + b l_y + c l_z]= a[l_z,l_x]+b[l_z,l_y]+c [l_z,l_z] = a l_y-b l_x = \mu \,l_z$$

por lo tanto

$$a l_y-b l_x- \mu l_z = 0 \qquad \Rightarrow \qquad a = b= \mu = 0$$

lo cual es una contradicción. Por tanto $N(L^\prime ) = L^\prime$

De aquí que $((l_z))$ sea la subálgebra de Cartan.

En el álgebra de Lie, de los operadores de momentum angular, ¿cuales son los eigenvalores de $l_z$ ?.

Definamos

$$l_+=l_x+il_y$$

$$l_-=l_x-il_y$$

y estos junto con $l_z$ son los eigenvectores y los eigenvalores son $-i,\,+i$ y $0$ respectivamente.

La subálgebra de Cartan, como espacio vectorial, tiene una dimensión

$$\mbox{dim} {\cal A}= k\leq n = \mbox{dim}(L)$$

Así existe una base tal que

$${\cal A}= ((h_1,h_2,\ldots,h_k))$$

y tal que

$$[h_i,h_j]=0,\qquad \forall\ i,j$$

Como los $h_i$ son normales, existe una base común de eigenvectores para los $h_i$ los cuales denotaremos por

$$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_k$$

y por

$$\mu_{k+1},\mu_{k+2},\ldots,\mu_n$$

el resto de la base de $L$.

Apliquemos los $h_i$ a $u_j$ con $1\leq j \leq k$

$$\begin{eqnarray*} \mbox{$[h_1,\mu_j]$} & = & \lambda_1^{(j)}\mu_j\\ \mbox{$[h... ... & & \vdots\\ \mbox{$[h_k,\mu_j]$} & = & \lambda_k^{(j)}\mu_j \end{eqnarray*}$$

Formemos ahora el vector

$$\left[ \begin{array}{c} \lambda_1^{(j)}\\ \lambda_2^{(j)}\\ \vdots\\ \lambda_k^{(j)} \end{array} \right]$$

de esta menera podemos construir $k$ vectores de dimensión $k$.

Estos vectores son llamados vectores raíz.

En el caso de los operadores de momentum angular sólo tendremos un vector raíz, a saber

$$\left( \begin{array}{c} -i\\ +i \end{array} \right)$$

Utilizando la representación adjunta, debido a que los $H$'s serán normales, sucede que

$$\begin{eqnarray*} H_1\psi & = & \lambda_1\psi\\ H_2\psi & = & \lambda_2\psi\\ \vdots \; \; & & \; \; \vdots\\ H_k\psi & = & \lambda_k\psi \end{eqnarray*}$$

Formamos el vector

$$\left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \vdots\\ \lambda_k \end{array} \right]$$

y lo llamaremos un vector de peso.

Nuestros resultados enunciados utilizando estos últimos conceptos son que las eigenfunciones de la subálgebra de Cartan ocurren en parejas conjugadas, los miembros de la pareja pertenecen a pesos negativos, los elementos de la subálgebra de Cartan son autoconjugados; y si la suma de dos pesos no es un peso, el conmutador de las correspondientes eigenfunciones es cero, y en caso contrario es una eigenfunción con la suma como un peso.

Una definición más que daremos es la del rango de Lie $L$, el cual será la dimensión de una subálgebra de Cartan.

Es conveniente notar que esta definición puede no tener sentido, ya que subálgebras de Cartan no siempre hay una sola, sino que puede haber varias en un álgebra de Lie, por tanto el rango dependerá de la subálgebra de la que se este hablando. Afortunadamente existe un teorema que nos asegura que dada un álgebra de Lie, todas sus subálgebras de Cartan son isomorfas y que tienen la misma dimensión.