Diagramas de peso y algunos ejemplos

La teoría de las álgebras de Lie clasifica las mismas, en terminos de los posibles diagramas de raíces que puedan existir, y también demuestra que los vectores raíz pueden tomar sólo ciertos valores racionales y que para los ángulos entre los vectores, también sólo son permitidos algunos valores. Sin embargo, a nosotros sólo nos interesan las posibles aplicaciones de esta teoría a la mecánica hamiltoniana, y nuestro interés se debe en parte a que esta teoría nos permite, algunas veces, construir sistemas de coordenadas canónicas.

En este trabajo nos es imposible, debido a la brevedad del espacio con el que contamos, desarrollar formalmente los hechos necesarios para demostrar nuestras afirmaciones, así que sólo mencionaremos las referencias, las cuales son: Jacobson [2] y el libro de Rowlatt [21]

Si uno acepta la teoría, es posible entender algunos ejemplos que daremos a continuación.

Tomemos a $\Phi_2^{(2)}$ operando sobre $\Phi_2^{(1)}$

$$\begin{eqnarray*} \Phi_2^{(1)} & = & ((q_1,q_2,p_1,p_2))\\ \Phi_2^{(2)} & = &... ...q_1q_2,q_1p_1,q_1p_2,q_2p_1,q_2p_2,q_2^2, p_1^2,p_1p_2,p_2^2)) \end{eqnarray*}$$

La tabla de conmutación es:

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}\hline... ... & 0 \\ \hline p_2^2 & 0 &-2p_2 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Una subálgebra de Cartan es la generada por los elementos ``diagonales".

$${\cal A}=((p_1q_1 s, p_2q_2))$$

Veamos sus eigenvectores comunes

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \mbox... ...0 \\ & p_2 & & \\ p_2q_2 & & p_2 & 1 \\ \hline \end{array}$$

los vectores raíz son por tanto

$$\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array} \right] \; , \... ...mbox{ y } \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$$

su diagrama de raíces es.

Ahora tomemos a $\Phi_2^{(2)}$ operando sobre $\Phi_2^{(2)}$

$$\Phi_2^{(2)}=((q_1^2,q_1q_2,q_1p_1,q_1p_2, q^2_2,q_2p_1,q_2p_2,p_1^2,p_1p_2p_2^2))$$

$${\cal A}=((p_1q_1,p_2q_2))$$

ahora se encuentra los eigenvectores comunes de $p_1q_1$ y $p_2q_2$ y vemos de la tabla de conmutación

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert... ... & 0 &-4p_2q_2&-2p_2p_1&-2p_2^2& 0 & 0 & 0\\ \hline \end{array}$$

los eigenvalores y eigenvectores son:

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \mbox{Opera... ...q_1& & 0 \\ & p_2^2 & \\ p_2q_2& & 2 \\ \hline \end{array}$$

Los vectores son por tanto

$$\left[\begin{array}{r} -2 \\ 0 \end{array} \right] \; , \... ... \; , \; \left[\begin{array}{r} 0 \\ -2 \end{array} \right]$$

$$\left[\begin{array}{r} 2 \\ 0 \end{array} \right] \; , \;... ...] \; , \; \left[\begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right]$$

los cuales pueden ser representados en un diagrama

$$\begin{picture}(110,110)(10,20) \put(50,60){\vector(0,1){40}... ...$ + $}}\\ \put(46,80){\shortstack[r]{$ - $}}\\ \end{picture}$$

Con un poco de reflexión, o bien usando la teoría completamente elaborada, uno encuentra ciertos vectores ($w_1$,$w_2$ en estos casos), en términos de los cuales los vectores de peso se escriben simplemente como sumas y diferencias, las cuales podemos usar como etiquetas para los vectores del espacio de los diagramás.

Si definimos un mapeo de $\Phi_2^{(2)}$ en el espacio de vectores de peso de la siguiente manera:

$$\begin{eqnarray*} w_1-w_2 &\rightarrow& p_1 q_2\\ w_2-w_1 &\rightarrow& p_2 q... ...row& \frac{1}{2} q_1^2\\ 2w_2 &\rightarrow& \frac{1}{2} q_2^2 \end{eqnarray*}$$

y denotamos este mapeo, por $e_x$ con argumento $x$ tendremos

$$\begin{array}{ccc} e_{w_j-w_i} & = p_i q_j & i\neq j\\ e_{... ...{2} p_j^2 & \\ e_{-2wj} & = \frac{1}{2} q_j^2 & \end{array}$$

Ahora definimos

$$[e_x,e_y]= e_{x+y}$$

si $x+y\neq0$ y $x+y$ es un punto en el diagrama

$$[e_x,e_y]= 0$$

si $x+y$ no es un punto del diagrama y si

$$x + y = 0$$

$$[e_x,e_y]= \sum\alpha_i h_i$$

donde las $\alpha_i$ son constantes que quedan por calcular

En general para $\Phi _n^{(2)}$, los generadores del álgebra de Lie quedan escritos de la siguiente manera:

$$\begin{eqnarray*} h_i & = & p_i q_i\\ e_{wj-wi} & = & p_i q_j \qquad i\neq j\... ...j} & = & \frac{1}{2} p_j^2 \\ e_{2wi} & = & \frac{1}{2} q_i^2 \end{eqnarray*}$$

Los elementos $h_i$ son los generadores de la subálgebra de Cartan.

Estas definiciones establecen que $\Phi _n^{(2)}$ es una álgebra de Lie simple $C_k$ de matrices simplécticas:

Para el caso de $\Phi _n^{(1)}$ se obtienen los siguientes diagramas de peso

$$\begin{picture}(100,110)(10,20) \put(00,70){\vector(0,1){20}... ... \put(100,30){\shortstack[r]{$\phi_3^{(1)}$}}\\ \end{picture}$$

En un diagrama de raíces hay ciertas raíces de interés particular. Por ejemplo, dado que la suma de dos raíces corresponde a otra raíz la cual tiene por eigenfunción al conmutador de las eigenfunciones que pertenecen a los sumandos, podemos entonces distinguir a las llamadas raíces primitivas.

Estas son las raíces, que no pueden ser escritas como la suma de otras raíces. Sus eigenfunciónes asociadas son entonces, un conjunto degenerado para el ágebra de Lie. En este sentido de todos los demás elementos pueden ser reducidos a partir de las raíces primitivas por medio de conmutadores y combinaciones lineales.

Otros hechos de interés para la mecánica hamiltoniana son las raíces de máximo peso, estas serán las raíces que yacen sobre las caras exteriores del octaedro, que define el diagrama de raíces. La suma de estas raíces, no son raíces a su vez y por tanto sus eigenfunciones asociadas conmutan. Un ejemplo de esto último, es el conjunto formado por

$$((p_iq_i,\frac{1}{2}q_i^2))$$

Las reglas de conmutación son:

$$\begin{eqnarray*} \mbox{$[ p_iq_i,p_jq_j] $} & = & 0\\ \mbox{$ [p_iq_i,\frac{... ... $} & = & \delta_{ij}q_i^2\\ \mbox{$ [q_i^2,q_j^2] $} & = & 0 \end{eqnarray*}$$

Las cuales no son canónicas, pero hay varias maneras de derivar unas reglas de conmutación, canónicas para ellas; por ejemplo:

si

$$\begin{eqnarray*} \mbox{$ [f,g]$} & = & \lambda g\\ \mbox{$ [f,\frac{\mbox{ln } g}{\lambda} ] $}& = & 1 \end{eqnarray*}$$

Un esquema similar fué usado por McIntosh y Dulock [5] para construir coordenadas canónicas relacionadas con la degeneración accidental de oscilador armónico. A este respecto podemos decir que el conjunto $\Phi _n^{(2)}$ no solamente forma un álgebra de Lie, sino además contiene varias subálgebras de interés. Por ejemplo, tomando en cuenta la identidad de Jacobi, todos los elementos que conmutan con un elemento fijo forman una subálgebra. Una subálgebra de este tipo tiene interés en conección con el oscilador armónico, por que el hamiltoniano de este es un elemento de $\Phi_1^{(2)}$ y consecuentemente los elementos que conmutan con él son constantes de movimiento para el oscilador armónico, y ellos forman un álgebra de Lie isomorfa a $SU(n)$.