Tomemos el álgebra de Lie formada por $\phi_2^{(2)}$.

Consideremos el subespacio

$$\begin{array}{rl} H \; = & (( q_1^2,q_1q_2,q_2^2))\\ \mbox... ...$} \; = & 0 \\ \mbox{$[ q_1q_2,q_2^2]$} \; = & 0 \end{array}$$

pero una subálgebra de Cartan es

$$\begin{array}{crl} & a = & ((p_1q_1,p_2q_2))\\ \mbox{y}\qquad &\mbox{ dim } a = & 2 \end{array}$$

de aquí vemos que el concepto de conjunto maximal de operadores que conmutan entre si no coincide con el de subálgebra de Cartan.

Es bueno hacer ver que $H$ no es una subálgebra de Cartan. Para esto, supongamos que sí lo fuera, entonces el conmutador del elemento del álgebra de Lie

$$q_1p_1+q_2p_1+p_1^2+p_1p_2$$

con el elemento de $H,q_1^2$ nos debe dar nuevamente un elemento de $H$, es decir, una combinación lineal de $q_1^2$ , $q_1 q_2$ y $q_2^2$.

$$\begin{eqnarray*} \mbox{$[q_1p_1+q_2 p_1+p_1^2+p_1 p_2,q_1^2]$} & = & -2q_1^2 - 2q_1q_2 -p_1q_1-2q_1p_2 \end{eqnarray*}$$

y este elemento claramente no pertenece a $H$.