Estudio del movimiento considerando únicamente cargas eléctricas.

Ya vimos lo que ocurre cuando se consideran cargas magnéticas únicamente, ahora vamos a ver el movimiento cuando existen solamente cargas eléctricas en nuestro problema. La forma de nuestras funciones será la misma, pero ahora los términos que contienen factores de $g_+$ y $g_-$ son cero, tendremos por consiguiente

$$\begin{eqnarray*} f_1 &=& h \xi^2-\varepsilon_+ \xi- \alpha\\ f_2 &=& \frac... ...arepsilon_- \eta- \alpha\\ s_2 &=& \frac{p_\phi^2}{\eta^2-1} \end{eqnarray*}$$

Como no hay términos de origen magnético las curvas correspondientes a $f_2$ y $s_2$ serán exactamente iguales y además se tendrá simetría completa por tener sólo términos cuadráticos en sus variables correspondientes. Lo que hay que hacer en cada caso es un estudio de las raíces dentro de los rangos en que cada variable tiene significado físico, como lo hemos venido haciendo en otros casos. Ahora, el parámetro $\alpha$ nos da las intersecciones con el eje vertical de las parábolas $f_1$ y $s_1$ con el eje vertical, aunque ambas familias no son idénticas por la presencia de los parámetros $\varepsilon_+$ y $\varepsilon_-$. Las intersecciones de $f_2$ y $s_2$ con el eje horizontal vendrán dadas por

$$\frac{\varepsilon_+ \pm \sqrt{\varepsilon_+^2+4h\alpha}}{2h}$$

y por

$$\frac{-\varepsilon_- \pm \sqrt{\varepsilon_-^2+4h\alpha}}{2h}$$

respectivamente y la posición de los vértices será en cada caso

$$\left( \frac{\varepsilon_+}{2h},-\frac{\varepsilon_+^2}{4h... ...c{\varepsilon_-}{2h},\frac{\varepsilon_-^2}{4h}-\alpha\right)$$

En este caso nos damos cuenta rápidamente que los estados ligados corresponden siempre a energías negativas, además para tener soluciones con significaso físico en -- debemos tener que -- debe ser negativa, otra cosa que debemos pedir para esta variable es que la pendiente de la energía cero debe ser positiva, es decir

$$-\varepsilon_+ > 0$$

o sea

$$-(z_1 +z_2) > 0$$

Eso implica que al menos uno de los dos centros debe ser atractivo y además predominante; si los dos centros son atractivos la desigualdad anterior se cumple siempre y entonces hay problema, no importará mucho que valores tengamos para $z_1$ y $z_2$. Por lo que respecta a las curvas para $\eta$ sólo nos interesan intersecciones que esten dentro del rango $(-1,1)$ y serán posibles las siguientes configuraciones Figura 4.3.

Figure 4.3:

El análisis posterior para dicha variable podemos basarlo en ver lo que pasa con la Figura 4.3 b) para lo cual se requiere que el vértice de la parábola coincida con un punto de la curva $s_2$ dentro del intervalo $(-1,1)$. Como el valor de $\eta$ para el vértice viene dado como $-\varepsilon_- / 2h$, entonces el valor de $s_1$ en ese punto será

$$h\left(-\frac{\varepsilon_-}{2h}\right)^2 + \varepsilon_- ... ...psilon_-^2}{2h}-\alpha = -\frac{\varepsilon_-^2}{4h}-\alpha$$

por lo tanto

$$s_1\left(-\frac{\varepsilon_-}{2h}\right) = -\frac{\varepsilon_-^2}{4h}-\alpha$$

Quedamos entonces en que la condición de tangencia es que se igualen los valores de $s_1$ y $s_2$ en el punto que estamos considerando, por lo tanto calcularemos ahora el valor de $s_2$

$$s_2\left(-\frac{\varepsilon_-}{2h}\right) = \frac{p_\phi^... ...silon_-^2-4h^2} = \frac{(2p_\phi h)^2}{\varepsilon_-^2-4h^2}$$

Para asegurarnos de que se trata del intervalo $(-1,1)$ debemos pedir que el denominador sea negativo, es decir

$$\varepsilon_-^2 < 4h^2 \quad \rightarrow \quad \left(\frac{\varepsilon_-}{2h}\right)^2 < 1$$

por consiguiente

$$-1 < \frac{\varepsilon_-}{2h} < 1$$

eso es lo que deseamos, que el vértice de la parábola esté entre las rectas $\eta = -1$ y $\eta = 1$. Además, no se olvide que necesitamos que $h$ tome valores negativos. Hemos pedido mas arriba que se cumpla la igualdad $s_1 = s_2$ sin embargo, tendremos otros casos para las relaciones $s_1 < s_2$ y $s_1 > s_2$, tendremos por consiguiente, tres posibilidades, a saber:

$$\begin{eqnarray*} -\frac{\varepsilon_-^2}{4h}-\alpha &<& \frac{(2p_\phi h)^2... ...^2}{4h}-\alpha &>& \frac{(2p_\phi h)^2}{\varepsilon_-^2-4h^2} \end{eqnarray*}$$

La primera relación corresponde a los casos que representamos por la Figura 4.3 a) y vale para órbitas que comprenden a los dos centros. La segunda relación es para partículas que pueden girar alternadamente en uno o en el otro centro describiendo trayectorias en forma de ocho o algo por el estilo, eso depende del valor que tenga. Finalmente, la tercera es para casos como los que representan en las Figuras 4.3 c) y d), estos dos últimos casos son fáciles de distinguir cuando el momento $p_\phi$ es nulo, lo cual es equivalente a tener el movimiento en un plano. La diferencia consistiría en que para un caso, las raíces de la parábola estuvieran dentro del rango $(-1,1)$ y para el otro, una de esas raíces estaría fuera de dicho rango. En caso de que $p_\phi$ no sea cero, el procedimiento es semejante, pero es menos directo porque depende también de la energía que es la que determina el lado recto de la parábola y no lo haremos aquí porque nuevamente surge el problema de tratar con un polinomio de cuarto grado.